代数几何

代数几何是数学的一个分支，正如它的名字所暗示的，代数几何将抽象代数， 特别是交换代数，同几何结合起来。 它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。在多复变函数论、拓扑学、微分方程论和数论中都有应用。

联立多项式的零点

球和倾斜的圆周

在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的公共零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如，在三维欧几里德空间$\mathbb R^3$中的二维球面被定义为满足方程

$x^2+y^2+z^2-1=0$

的所有点$(x,y,z)$的集合。

一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间$\mathbb R^3$中可以被定义为同时满足如下两个方程

$x^2+y^2+z^2-1=0$，

$x+y+z=0$

的所有点$(x,y,z)$的集合。

仿射簇

现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 k，在古典代数几何中这个域通常是复数域C，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域 k上的 n维仿射空间${\mathbb A}^n_k$，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为${\mathbb A}^n$。

如果函数

$f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1$

可以被写为多项式，即如果有多项式p在

k[x₁,...,x_n] 上，

对${\mathbb A}^n$上的每个点

(t₁,...,t_n)

都有

f(t₁,...,t_n) = p(t₁,...,t_n)，定义这个函数是正则的。

n维仿射空间的正则函数正是数域 k上n个变量的多项式。我们将${\mathbb A}^n$上的正则函数记为 $k[{\mathbb A}^n]$。

與拓撲場論的關係

拓撲場論是數學物理中對sigma 模型（sigma model）的場做路徑積分量子化的理論。

sigma 模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的映射，再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。其中映射部份被稱爲玻色場（boson field），截面部份被稱爲費米場（fermi field）。該理論的主要目的是通過路徑積分計算配分函數 （partition function）。

在一些特殊情況下，可以用局部化方法把配分函數原在無限維空間的積分化簡爲在有限維空間的積分。對不同的作用量（action）而言，這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論，包括：

• Gromov Witten 不變量（即IIA型弦論）
• 辛流形裡的全純曲線計數
• Seiberg Witten不變量
• Chern Simon 數規範場

IIB型弦論則利用了 Hodge 結構的形變來計算。

参考书目

经典教科书，先于概形:

• W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe. Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46900-7. 
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46901-5. 
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel. Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. 1994. ISBN 0-521-46775-6. 

不使用概形的语言的现代教科书:

• David Cox; John Little, Donal O'Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms. second edition. Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-94680-2. 
• Phillip Griffiths; Joe Harris. Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. 1994. ISBN 0-471-05059-8. 
• Joe Harris. Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-97716-3. 
• David Mumford. Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties. 2nd ed.. Springer-Verlag. 1995. ISBN 3-540-58657-1. 
• Miles Reid. Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 1988. ISBN 0-521-35662-8. 
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space. 2nd ed.. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-54812-2. 

关于概形的教科书和参考书:

• David Eisenbud; Joe Harris. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98637-5. 
• 亚历山大·格罗滕迪克. 代数几何基础. Publications mathématiques de l'IHÉS. 1960. 
• 亚历山大·格罗滕迪克. 代数几何基础, 1. 2nd ed.. Springer-Verlag. 1971. ISBN 3-540-05113-9. 
• Robin Hartshorne. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1997. ISBN 0-387-90244-9. 
• David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. 2nd ed.. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-63293-X. 
• Igor Shafarevich. Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-54812-2. 

互联网上的资料:

• Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System
• Algebraic geometry entry on PlanetMath
• Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations