作用量

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在物理學裏，作用量是一個很特別，很抽象的值量。它表示著一個動力物理系統內在地演變趨向。雖然與微分方程方法大不相同，我們也可以應用作用量來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，叫做最初狀態與最終狀態。然後，經過求解作用量的極值，我們可以得到系統在兩個點之間的狀態。

目录

[编辑] 歷史

費馬於 1662 年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682 年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。如果河道變窄，水的流速會增加；同樣的，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744 年，馬波土易斯在一篇論文 “The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable” 中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值； 他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747 年，馬波土易斯在另一篇論文 “On the laws of motion and of rest” 中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文 “Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense” ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是 \int_{path}\ v^2\ dt\,\! 。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到有心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括拉格朗日、哈密顿、理查德·費曼、等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

[编辑] 概念

微分方程時常被用來表述物理定律。微分方程指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這變數在某一點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法．它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為最初值與最終值。經過作用量極值的演算，我們可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密顿原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統的微分運動方程，也可以用一個等價的積分方程來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子，關於經典場像電磁場與万有引力場，這描述都是正確的。更值得一提的是，現今，哈密顿原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的極值（通常是最小值）,可以得到這系統隨時間的演變（就是說，系統怎樣從一個狀態演變到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演變對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演變的微分方程。

[编辑] 作用量樣式

在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的方程樣式。

[编辑] 作用量 (泛函)

最普通地，作用量是一個泛函 \mathcal{S}\,\! ，輸入值是時間與空間的函數，輸出值是一個標量。更明確地，在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點 t_{1}\,\! ，t_{2}\,\! 之間廣義坐標 \mathbf{q}(t)\,\! 的演變。作用量 \mathcal{S}\,\! 定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量 L\,\! 隨時間的積分：

\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\! 。

根據哈密顿原理，正確的演變 \mathbf{q}_{\mathrm{true}}(t)\,\! 要求平穩的作用量 \mathcal{S}\,\!（最小值、最大值、或鞍值）。經過運算，我們可以求得拉格朗日方程。

[编辑] 簡略作用量 (泛函)

通常標記為 \mathcal{S}_{0}\,\! ，也是一個泛涵。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，而不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻万有引力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都不依賴於粒子的移動於路徑的速度。簡略的作用量 \mathcal{S}_{0}\,\! 定義為廣義動量 \mathbf{p}\,\! 延著路徑的積分：

\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p} \cdot \mathrm{d}\mathbf{q}\,\! 。

這裏，\mathbf{q}\,\! 是廣義坐標．根據馬波土易斯原理，正確路徑的簡略作用量 \mathcal{S}_{0}\,\! 是平穩的。

[编辑] 哈密顿主函數

主條目：哈密顿主函數。

哈密顿主函數 S\,\! 與泛涵 \mathcal{S}\,\! 有密切的關係。固定住最初時間 t_{1}\,\! 與其對應坐標點 \mathbf{q}_{1}\,\! 的值；而准許改變時間上限 t_{2}\,\! 與其對應坐標點 \mathbf{q}_{2}\,\! 。取 t_{2}\,\! 與 \mathbf{q}_{2}\,\! 為函數 S\,\! 的參數。換句話說，作用量函數 S\,\! 是拉格朗日量隨時間的不定積分：

S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = \int L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\! 。

[编辑] 哈密顿特徵函數

主條目：哈密顿特徵函數。

如果哈密顿量 H\,\! 是守恆的，H=k_1\,\! ，則哈密顿特徵函數 W\,\! 是一個作用量：

W(\mathbf{q},\ \mathbf{P}) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) - k_1\cdot t\,\! 。

[编辑] 哈密顿-雅可比方程解答

主條目：哈密顿-雅可比方程。

哈密顿-雅可比方程是經典力學的一種表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；則哈密顿主函數 S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\! 分出的每一個項目 S_{k}(q_{k},\ \mathbf{P},\ t)\,\! 也稱為"作用量"。

[编辑] 作用量-角度坐標

主條目：作用量-角度坐標。

思考一個作用量-角度坐標的廣義動量變數 J_{k}\,\! ，定義為在相空間內，關於旋轉運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分：

J_{k} = \oint p_{k} \mathrm{d}q_{k}\,\! 。

這變數 J_{k}\,\! 稱為廣義坐標 q_{k}\,\! 的作用量；相應的正則坐標是角度 w_{k}\,\! 。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分矢量；這裏，只有一個標量變數 q_{k}\,\! 被用來積分。作用量 J_{k}\,\! 等於， 隨著 q_{k}\,\! 沿著閉路徑，S_{k}(q_{k})\,\! 的改變。應用於幾個有趣的物理系統，J_{k}\,\! 或者是常數，或者改變非常地慢。因此，J_{k}\,\! 時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。

[编辑] 哈密顿流作用量

參閱 tautological one-form。

[编辑] 數學導引

哈密顿原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點 t_{1}\,\! 、t_{2}\,\! 的運動是正確運動，則作用量泛函 \mathcal{S}\,\! 的一次變分 \delta\mathcal{S}\,\! 為零。用數學方程表示，定義作用量為

\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,dt\,\! 。

這裏，L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\! 是系統的拉格朗日函數，廣義坐標 \mathbf{q} = \left( q_{1},\ q_{2},\ \ldots,\ q_{N}\right)\,\! 是時間的函數。

如果 \mathbf{q}(t)\,\! 乃系統的正確運動，則 \delta \mathcal{S}=0\,\! 。

從哈密顿原理可以導引出拉格朗日方程．假設 \mathbf{q}(t)\,\! 是系統的正確運動，讓 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! 成為一個微擾 \delta\mathbf{q}\,\! ；微擾在軌道兩個端點的值是零：

\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\! 。

取至 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! 的一階微擾，作用量泛函的一次變分為

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol{\varepsilon}) - L(\mathbf{q},\ \dot\mathbf{q}) \right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + \dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt \,\! 。

這裏，我們將拉格朗日量 L\,\! 展開至 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! 的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目

\delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\! 。

邊界條件 \boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\! 使第一個項目歸零：

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\! 。

作用量泛函 \mathcal{S}\,\! 穩定的要求意味著，對於正確運動的任意微擾 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! ，一次變分 \delta \mathcal{S}\,\! 必須等於零：

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot \left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,\! 。

特別注意，我們沒有對廣義坐標 \mathbf{q}_(t)\,\! 做任何要求。在這裏，我們要求所有的廣義坐標都互相無關（完整限制）。這樣，我們可以應用變分法基本引理來得到拉格朗日方程：

\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\! 。

在各個物理學領域，拉格朗日方程都被認為是非常重要的方程，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

相應於廣義坐標 q_{k}\,\! 的廣義動量 p_{k}\,\! ，又稱正則動量，或稱共軛動量，定義為

p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\! 。

當 L\,\! 不顯含廣義坐標 q_{k}\,\! 時，

\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\,\! ，

則廣義動量 p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\! 是常數。在此種狀況，坐標 q_{k}\,\! 稱為循環坐標。舉例而言，如果我們用極坐標系(r,\ \theta,\ h)\,\! 來描述一個粒子的平面運動，而 L\,\! 與 \theta\,\! 無關，則廣義動量是守恆的角動量。

[编辑] 參閱

[编辑] 外連

[编辑] 參考文獻

  • Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics", (Dover Publications, New York, 1986), ISBN 0-486-65067-7. 這領域最常引用的參考書。
  • 列夫·朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1, (Butterworth-Heinenann, 1976), ISBN 0-7506-2896-0. 這本書一開始就講解最小作用量原理。
  • Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed., (Addison Wesley, 1980), pp. 35-69。
  • Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2, (Simon & Schuster Macmillan, 1996), ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
  • Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering", (Dover Publications, 1974), ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。
  • Dugas, René, "A History of Mechanics", (Dover, 1988), ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。
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