作用量

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物理學裏,作用量(英语:action)是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同,作用量也可以被用來分析物理系統的運動,所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態,初始狀態與最終狀態,然後,經過求解作用量的平穩值,就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。

歷史[编辑]

皮埃爾·德·費馬於 1662年發表了費馬原理。這原理闡明:光傳播的正確路徑,所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性,現今,一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論:光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑;更精確地說,阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題,如果要符合實驗的結果,玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙;但是,玻璃的密度大於空氣,應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散;因此,光被約束在一個很窄的路徑內。假若,河道變窄,水的流速會增加;同樣地,光的路徑變窄,所以光的速度變快了。

1744年,皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文 《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》 中,發表了最小作用量原理:光選擇的傳播路徑,作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理,他證明了費馬原理:光傳播的正確路徑,所需的時間是極值; 他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年,莫佩爾蒂在另一篇論文 《On the laws of motion and of rest》 中,應用這原理於碰撞,正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞;這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文 《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律,而這物理量是 \int_{path}\ v^2\ dt\,\! 。應用這理論,歐拉成功的計算出,當粒子受到連心力作用時,正確的拋射體運動。

在此以後,許多物理學家,包括約瑟夫·拉格朗日威廉·哈密頓理查德·費曼等等,對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

概念[编辑]

微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出,隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化,一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變,再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值,就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法,它能夠描述物理系統的運動,而且只需要設定物理變數在兩點的數值,稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算,可以得到,此變數在這兩點之間任何點的數值。而且,作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價:描述物理系統運動的微分方程式,也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場電磁場重力場,這描述都是正確的。更加地,哈密頓原理已經延伸至量子力學量子場論了。

變分法數學語言來描述,求解一個物理系統作用量的平穩值(通常是最小值),可以得到這系統隨時間的演化(就是說,系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態)。更廣義地,系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

作用量形式[编辑]

在經典物理裏,作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

作用量 (泛函)[编辑]

最常見的作用量是一個泛函 \mathcal{S}\,\! ,輸入是參數為時間與空間的函數,輸出是一個純量。在經典力學裏,輸入函數是物理系統在兩個時間點 t_{1}\,\!t_{2}\,\! 之間廣義坐標 \mathbf{q}(t)\,\! 的演變。

作用量 \mathcal{S}\,\! 定義為,在兩個時間點之間,系統的拉格朗日量 L\,\! 對於時間的積分:

\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!

根據哈密頓原理,正確的演化 \mathbf{q}_{\mathrm{true}}(t)\,\! 要求平穩的作用量 \mathcal{S}\,\! (最小值、最大值、鞍值)。經過運算,結果就是拉格朗日方程式

簡略作用量 (泛函)[编辑]

簡略作用量也是一個泛涵,通常標記為 \mathcal{S}_{0}\,\! 。這裏,輸入函數是物理系統移動的一條路徑,完全不考慮時間參數。舉例而言,一個行星軌道的路徑是個橢圓,一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線;在這兩種狀況,路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量 \mathcal{S}_{0}\,\! 定義為廣義動量  \mathbf{p}\,\! 延著路徑的積分:

\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{q}\,\!

其中,\mathbf{q}\,\! 是廣義坐標.根據莫佩爾蒂原理,正確路徑的簡略作用量 \mathcal{S}_{0}\,\! 是平穩的。

哈密頓主函數[编辑]

主條目:哈密頓主函數

哈密頓主函數是由哈密頓-亞可比方程式定義的。哈密頓-亞可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數 S\,\! 與泛涵 \mathcal{S}\,\! 有密切的關係。固定住初始時間 t_{1}\,\! 和其對應的坐標點 \mathbf{q}_{1}\,\! ;而准許時間上限 t_{2}\,\! 和其對應的坐標點 \mathbf{q}_{2}\,\! 的改變。取 t_{2}\,\!\mathbf{q}_{2}\,\! 為函數 S\,\! 的參數。換句話說,作用量函數 S\,\!拉格朗日量對於時間的不定積分

S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = \int L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!

更加地,可以證明 \mathbf{P}\,\! 是某常數向量 \mathbf{a}\,\! 。所以,

S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t)\,\!

哈密頓特徵函數[编辑]

主條目:哈密頓特徵函數

假若,哈密頓量 H\,\! 是守恆的;

H=\alpha\,\!

其中,\alpha\,\! 是常數。

設定哈密頓特徵函數 W\,\!

W(\mathbf{q},\ \mathbf{a}) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t) - \alpha t\,\!

則哈密頓特徵函數 W\,\! 是一個作用量。

更加地,

\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}\,\!

對於時間積分:

W(\mathbf{q},\ \mathbf{a})=\int\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}dt=\int \mathbf{p}\,d\mathbf{q}\,\!

這正是簡略作用量的方程式。

哈密頓-亞可比方程式解答[编辑]

主條目:哈密頓-亞可比方程式

哈密頓-亞可比方程式是經典力學的一種表述。假若,哈密頓-亞可比方程式是完全可分的;則哈密頓主函數 S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\! 分出的每一個項目 S_{k}(q_{k},\ \mathbf{P},\ t)\,\! 也稱為"作用量"。

作用量-角度坐標[编辑]

主條目:作用量-角度坐標

思考一個作用量-角度坐標的廣義動量變數 J_{k}\,\! ,定義為在相空間內,關於轉動運動或振蕩運動,廣義動量的閉路徑積分

J_{k} = \oint p_{k} \mathrm{d}q_{k}\,\!

這變數 J_{k}\,\! 稱為廣義坐標 q_{k}\,\! 的作用量;相應的正則坐標角度 w_{k}\,\! 。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量;這裏,只有一個純量變數 q_{k}\,\! 被用來積分。作用量 J_{k}\,\! 等於, 隨著 q_{k}\,\! 沿著閉路徑,S_{k}(q_{k})\,\! 的改變。應用於幾個有趣的物理系統,J_{k}\,\! 或者是常數,或者改變非常地慢。因此,J_{k}\,\! 時常應用於微擾理論緩漸不變量的研究。

哈密頓流作用量[编辑]

參閱 重言1形式

數學導引[编辑]

哈密頓原理闡明,如果一個物理系統在兩個時間點 t_{1}\,\!t_{2}\,\! 的運動是正確運動,則作用量泛函 \mathcal{S}\,\!一次變分 \delta\mathcal{S}\,\! 為零。用數學方程式表示,定義作用量為

\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,dt\,\!

其中,L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\! 是系統的拉格朗日函數廣義坐標 \mathbf{q} = \left( q_{1},\ q_{2},\ \ldots,\ q_{N}\right)\,\! 是時間的函數。

假若,\mathbf{q}(t)\,\! 乃系統的正確運動,則 \delta \mathcal{S}=0\,\!

從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式.假設 \mathbf{q}(t)\,\! 是系統的正確運動,讓 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! 成為一個微擾 \delta\mathbf{q}\,\! ;微擾在軌道兩個端點的值是零:

\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\!

取至 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! 的一階微擾,作用量泛函的一次變分

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol{\varepsilon}) - L(\mathbf{q},\ \dot\mathbf{q}) \right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + 
\dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}  \right)\,dt      
\,\!

這裏,將拉格朗日量 L\,\! 展開至 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! 的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目,

\delta \mathcal{S} = 
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!

邊界條件 \boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0\,\! 使第一個項目歸零。所以,

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!

要求作用量泛函 \mathcal{S}\,\! 平穩。這意味著,對於正確運動的任意微擾 \boldsymbol\varepsilon(t)\,\! ,一次變分 \delta \mathcal{S}\,\! 必須等於零:

\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,\!

請注意,還沒有對廣義坐標 \mathbf{q}(t)\,\! 做任何要求。現在,要求所有的廣義坐標都互相無關(完整限制)。這樣,根據變分法基本引理,可以得到拉格朗日方程式:

 \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - 
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!

在各個物理學領域,拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式,能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

對應於廣義坐標 q_{k}\,\!廣義動量 p_{k}\,\! ,又稱為共軛動量,定義為

p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!

假設 L\,\! 不顯性地跟廣義坐標 q_{k}\,\! 有關,

\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\,\!

則廣義動量 p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\! 是常數。在此種狀況,坐標 q_{k}\,\! 稱為循環坐標。舉例而言,如果用極坐標系(r,\ \theta,\ h)\,\! 來描述一個粒子的平面運動,而 L\,\!\theta\,\! 無關,則廣義動量是守恆的角動量

參閱[编辑]

外部連結[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics", (Dover Publications, New York, 1986), ISBN 0-486-65067-7. 這領域最常引用的參考書。
  • 列夫·朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1, (Butterworth-Heinenann, 1976), ISBN 0-7506-2896-0. 這本書一開始就講解最小作用量原理。
  • Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed., (Addison Wesley, 1980), pp. 35-69。
  • Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2, (Simon & Schuster Macmillan, 1996), ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
  • Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering", (Dover Publications, 1974), ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。
  • Dugas, René, "A History of Mechanics", (Dover, 1988), ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。