势能

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古時候攻城用的拋石機，利用平衡重鎚的重力勢能，將石頭拋向敵城。

勢能（potential energy），又叫位能，是储存于一物理系统内的能量，是一个用来描述物体在保守力场中做功能力大小的物理量。保守力作功与路径无关，故可定义一个仅与位置有关的函数，使得保守力沿任意路径所做的功，可表达为这两点对应函数值的差，这个函数便是势能。

从物理意义上来说，势能表示了物体在特定位置上所储存的能量，描述了作功能力的大小。在适当的情况下，势能可以转化为诸如动能、内能等其他能量。

目录

[编辑] 势能

[编辑] 势能的定义

如果分别作用于两个质点上的作用力与反作用力作功与具体路径无关，只取决于相互作用质点初末位置，那么这样的一对力就叫作保守力（conservative force）。不满足这个条件的则称为非保守力（nonconservative force）。保守力的性质是，在相对一个质点静止的参考系中，另一个质点沿闭合路径运动一周，保守力作功为零。一般而言，保守力是关于位置的函数，这个函数被称作保守力场。

推广到多质点体系和连续分布物体，如果任意两个质点或质元之间的作用力都是保守力，则称该质点系为保守体系。由保守体系中，各质点或质元的相对位置发生变化时，其间的相互作用力将会作出一定量的功，而其所作功之和只与两质点相对位置有关。将保守体系在保守力作用下的这种与相对位置相联系的作功本领定义为一个函数，称为该保守体系的勢能函数或位能函数（potential energy function），简称勢能或位能（potential energy）。

势能为能量的一种，在国际单位制下的单位是焦耳（J），另外在涉及到粒子物理时常用到电子伏特（eV）。势能一般使用“Ep”表示，常常也使用“W”“U”和“V”。

势能是一个标量，当一个物体与多个物体共有势能或共有多种势能时，这个物体所具有的总势能为所有势能的代数和。

由定义可知，势能取决于两个或多个物体的相对位形，是两个或多个物体所共有的。然而，在两物体A、B组成的保守体系中，如果我们以其中一个物体A作为参考系，则势能仅取决于另一物体B的位置。这时，在不引起混淆的情况下，我们常把“A、B具有的势能”称作是“B的势能”。比如，在电场中的电荷具有静电势能，或者是在一个天体附近的另一个天体具有引力势能。除此之外，有时候保守体系中只存在一个物体，势能来自于物体内部各部分间的相对位移，这时候我们也说，势能是这个物体所具有的。比如，弹簧，或者是具有体分布电荷的绝缘体球。

  • 在下面的介绍中，我们均采用这样的模型，并使用“位置”表示“相对位置”。

需要注意的是，即使在同一保守力场中的同一处，不同物体的势能也一般不同，比如在重力作用范围内，物体的重力势能不仅取决于其高度，还取决于其质量。

[编辑] 势能物理意义

势能在适当的情况下可以转化为其他形式的能量。如，放在高处的物体相比放在放在低处的物体而言具有更多的重力势能，当它从空中向下坠落的时候，重力势能减少，转化为动能；而当它沿粗糙斜面下滑时，重力势能同时转化为动能和内能。

从中我们可以发现，势能可以表示一个物体所储存的能量的多少。具有更多能量的物体有能力对外界作出更多的功，用非保守力对物体做功也可以使之获得更多的能量。故，当物体在保守力的作用下（但不一定仅受保守力）从a处沿任意路径C移动到b处时，总势能变化量为保守力作功的相反值，即

E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\int_{a}^{b} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}

通常我们并不在意势能的大小，而是关心其变化量，这从势能的定义可以明显看出；实际上，谈一个物体究竟拥有多少绝对势能是没有意义的。不过，有时为了计算或者叙述方便，我们也取一个势能零点O，规定O处势能Ep(O)=0，这样质点在a处的势能大小为

E_p(a)=-W_{O \to a}=-\int_{O}^{a} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}

原则上势能零点可任意取，一般依方便而定；不过，大部分势能都有约定俗成的势能零点规定方式。

势能为保守力关于位移的积分，相对地，保守力为相应势能函数关于位移的微分，即

\boldsymbol{F}_{con} =-\nabla E_p

描述势能随位置变化的图称为势能图。若势能为仅与一个坐标（如x或r）有关的函数，这时势能图成为势能曲线，可以在平面直角坐标系上表示出来。这时有

F_{con} =-\frac{\partial E_p}{\partial x}

在下面介绍平衡及各种势能的时候会有势能曲线的范例。

[编辑] 机械能

主条目：机械能

势能与动能之和称为机械能（mechanical energy）。

E = Ek + Ep

外力的功与非保守内力的功之和等于质点系机械能的增量，这就是质点系的功能原理（principle of work and power）。用数学方式表达出来为

Wex + Wnci = E(b) − E(a)
在x方向上运动的一个机械能守恒的粒子，遭遇到势阱与势垒

其中，Wex为外力作功，Wnci为非保守内力作功。若Wex = 0，Wnci = 0，则质点系机械能守恒，这就是机械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）。这时，质点系与外界无能量交换，内部也无机械能与非机械能的转化，只有动能与势能的相互转换。

在构建理想模型时，机械能守恒定律应用得十分广泛，特别是当一质点处在有心力场时，其机械能守恒；又因为动能Ek>0，在已知总能量的情况下，可以了解到质点理论上的行动范围（满足Ek<E的区域）。

设在x方向上有如图势能曲线，则我们把AB间势能最低处叫作势阱（C右方也有一个势阱），BC间势能最高处叫作势垒，对应的有势阱深度与势垒高度。以下两个情形中，我们设定粒子机械能守恒。

若一个粒子从无穷远处靠近，则其机械能为E=0，那么在C点处其动能为零，再向左走速度将为虚数，经典力学中这是不允许的。因此它最多只能到达C处。随着粒子机械能（即初动能）的增大，其运动范围的左端将会延伸，当其机械能达到或超过Ep2时，它将可以翻过势垒。

再假设一个粒子，初始时在AB间。若它机械能为0，那么它可以在AB间运动，其最大动能为Ek max=Ep1。当其机械能不断增大，达到Ep1时，它将可以翻越势垒，到达B右方空间（当然，其在A左方的空间也会延伸）。

[编辑] 物体在势能场中的平衡

粒子在A点不稳定平衡，在B点稳定平衡，在C点随遇平衡

只受保守力作用的物体，总有向总势能更低处运动的趋势。当物体所处位置不受保守力作用或合力为零时，即\frac{\partial E_p}{\partial x}=0，则称物体处于平衡。右图A、B、C三点皆处于平衡。

当物体偏离平衡位置时，若受合力背向平衡位置，则物体有离开平衡位置的趋势，则称物体处于不稳定平衡。势能曲线上，不稳定平衡即满足\frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2}<0的点。右图A点处于不稳定平衡。

当物体偏离平衡位置时，若受合力指向平衡位置，则物体有回到平衡位置的趋势，则称物体处于稳定平衡。势能曲线上，稳定平衡即满足\frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2}>0的点。右图B点处于稳定平衡。

当物体在平衡位置附近时合力恒为零，则称物体处于随遇平衡。势能曲线上，随遇平衡即满足\frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2}=0的点。右图C点处于随遇平衡。

以上只是一种粗略的分析方法，实际上，在二维或三维的情况下，有时在不同方向上平衡种类不同。如，若物体被约束在马鞍形势能曲面上，位于中心时，在x方向上为稳定平衡，在y方向上为随遇平衡。

[编辑] 势

主条目：势 (物理)

在物理中有时会提到势，请不要与势能相混淆。势通常表述为势能与一个物理量的比值，如电势（一个粒子静电势能与其电荷量的比值），引力势（一个物体引力势能与其质量的比值）。保守力场中，一个物体的势能与该物体有关，但势的分布与该物体无关。

需要与势能区分开的是，物体并不一定总是向势更低的地方运动。一个正电荷会趋向于达到电势更低的地方，但一个负电荷会趋向于达到电势更高的地方。

[编辑] 几种常见势能

下面介绍几种常见势能。

在下面的介绍中，我们常考虑一个两质点组成的保守体系，两质点间受且仅受相应的一种保守力；并且均以其中一个其中一个质点为参考系，考察另一个质点在某一个方向（r）上的势能曲线。由于保守力往往具有球对称性，这样的势能曲线经过旋转就可以得到三维分布的势能图。这样的模型适用于万有引力势能、静电势能、分子势能等球对称性势能。

两质点的势能是一种最简单、最理想的模型，然而是实际模型的基础。实际的问题都可以由两质点势能的函数加以积分得到。

除了这些常见的势能之外，还有一些广义的势能。比如热学中气体的势能，它是大量分子势能的和，实际不是用相对位置来描述的，而是用体积、温度、压强等热学参量。又有，在一些特定的约束条件下，某些平时是非保守力的力也成为了保守力，我们又可以临时规定一个势能函数。如此种种。

[编辑] 引力势能

引力和引力势能随r变化的示意图
主条目：牛顿万有引力定律

根据牛顿万有引力定律，对于两质点1、2，质点2受到的万有引力为[1]

\boldsymbol{F_{21}}=-G \frac{m_1 m_2}{r^2} \boldsymbol{e}_{r_{21}}

其中G是万有引力常数，m1、m2是两质点的质量，r是两质点间的距离，e21为质点1指向质点2的单位矢量。引力场中的物体会具有引力势能。对于两个质点，定义无穷远处为势能零点，则质点2在r处的的引力势能为

E_G = -G \frac{m_1 m_2}{r} 。

[编辑] 重力势能

主条目：重力

重力势能是由引力場產生的一種势能，是引力势能的一种特殊情况下的简化形式。在大型天体（如地球）的表面的物体，当满足以下条件时：

重力和重力势能随h变化的示意图
  1. 天体为球体，且密度呈球对称分布（即距球心同一距离处密度相同）。
  2. 物体的质量远小于天体质量，故物体的存在几乎不会影响到天体的引力场；
  3. 物体的半径远小于天体半径，故相对于天体来说物体可看作为质点；
  4. 在一个不大的局域范围内，即物体距天体中心的距离的范围(rmax − rmin)远小于天体半径。
  1. 有时还要求物体距天体的距离远小于天体半径。

物体周围的引力场可视为是均匀的。人们为了简化计算将重力加速度定为常数g，则物体重力大小为

F = mg

其中m为物体质量，g为重力加速度常数，h为物体的高度。则物体在h处的重力势能为

Eg = mgh。

重力势能并没有严格的势能零点定义，完全依计算方便而定，不过比较常用的是以地面或桌面为势能零点。

在地球上g的值约为9.8 ms-2，在不同地区稍有不同。这个值已经包括了和地球自转所需的向心力造成的差别。

[编辑] 彈性勢能

弹簧的弹力和弹性势能随x变化的示意图
主条目：胡克定律

弹簧、钢片、金属丝等满足胡克定律的物体，在弹性限度内应力与应变成正比。下面以弹簧为例。在弹性限度内，弹簧弹力与长度变化量的关系为

\boldsymbol{F}=-k\boldsymbol{x}

其中，k为弹簧弹性系数，x为弹簧长度变化（即固定一端时另一端相对平衡位置的位移）。则其弹性势能为

E_h = \frac{1}{2}kx^2

弹性势能为对应物体自身所拥有，一般选择弹簧原长时（x=0）为势能零点。

[编辑] 靜電势能

主条目：庫侖定律
一个质子受到的另一个质子的静电力和静电势能随r变化的示意图

根据库伦定律，对于两静止点电荷1、2，点电荷2受到的静电力为

\boldsymbol{F_{21}}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \boldsymbol{e}_{r_{21}}

其中ε0是真空介电常数，q1、q2是两点电荷的电荷量，r是两点电荷的距离，e21为点电荷1指向点电荷2的单位矢量。静电场中的点电荷会具有静电势能。对于两个点电荷，定义无穷远处为势能零点，则点电荷2在r处的的静电势能为

W = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r} 。

[编辑] 分子势能

兰纳-琼斯势中，分子间作用力和分子势能随r变化的示意图

分子力实际上来源于多个方面，精确的计算与各分子内部结构有很大关系，会变得十分复杂。然而在采用适当的半经验近似公式后会使计算量极大地减小，并且在一定精度内与实际情况相差无几。两个分子间分子力的特点是：

  • 在某一个值r0以内，分子里表现为斥力并且随r减小而急剧上升；
  • 在r0以外表现为引力，分子力逐渐增大，到某最大值后减小；
  • 力程短，在r约为r0十倍时已几乎为零。

据此，科学家们提出了很多近似模型。一个典型且常用的模型是兰纳-琼斯势（Lennard-Jones potential function），该势能仅与两分子间距有关，具有球对称性，其函数解析式为

E_p=E_{p0} \left[ \left( \frac{r_0}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_0}{r} \right) ^6 \right]

其中，r为两分子距离，Ep0为分子势能的势阱（势能最低处的势能绝对值），r0为势阱处两分子间距。Ep0与r0需要对于具体分子通过实验确定。

[编辑] 参见条目


[编辑] 注释

  1. ^ 脚标“21”中，前一个数字为受方，后一个数字为予方，故F21为2收到的、来自于1的力，r21为由1指向2的矢量。下同。

[编辑] 参考资料

  • 郑永令，贾启明，方小敏（2002年）．《力学（第二版）》．北京：高等教育出版社．ISBN 978-6-04-011084-5． 
  • 李椿，章立源，钱尚武（2008年）．《热学（第二版）》．北京：高等教育出版社．ISBN 978-7-04-023914-0． 
  • 贾瑞皋，薛庆忠（2003年）．《电磁学》．北京：高等教育出版社．ISBN 978-7-04-011573-4． 
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