# 势能

## 势能

### 势能的保守力定义

1. 保守力沿给定两点间作功与路径无关；
2. 保守力沿任意环路作功为零；
3. 保守力可以表示为一个标量函数的（负）梯度

### 广义势能

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}} = Q_{\alpha} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$F_i = - \frac{\partial V}{\partial x_i} \qquad i=1,2,3$

$Q_{\alpha} = - \frac{\partial V}{\partial q_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$Q_{\alpha} = - \frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}} + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - U)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

$\boldsymbol{F} = q (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$

$U = q (\phi - \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v})$

### 势能物理意义

$E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\int_{a}^{b} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mbox{d} \boldsymbol{r}$

$E_p(a)=-W_{O \to a}=-\int_{O}^{a} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mbox{d} \boldsymbol{r}$

$\boldsymbol{F}_{con} =-\nabla E_p$

$E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\sum_{\alpha =1}^s \int_{a}^{b} Q_{\alpha} \mbox{d}q_{\alpha}$
$Q_{\alpha} =-\sum_{\alpha =1}^s \frac{\partial E_p}{\partial q_{\alpha}}$

$F_{con} =-\frac{\partial E_p}{\partial x}$

### 机械能

$E=E_k+E_p$

$W_{ex}+W_{nci}=E(b)-E(a)$

## 几种常见势能

### 引力势能

• 注意：在臺湾或其他地区[來源請求]将万有引力统称为“重力”，然而在大陆地区将万有引力称作“引力”，而将“重力”作为万有引力的一种特殊简化情形。这里为了分别介绍两种情况，不致混淆，暂采用大陆命名方法。

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-G m m_0 \cfrac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|^3}$

$E_G(\boldsymbol{r}) = -G m m_0 \frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|}$

$E_G(\boldsymbol{r}) = m \phi (\boldsymbol{r})$

### 重力势能

$F(h) = mg$

$E_p(h) = mgh$

### 弹性势能

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = k x$

$E_p(x) = \frac{1}{2}k x^2$

### 电势能

$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=\frac{q q_0}{4\pi \epsilon_0} \cfrac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|^3}$

$W(\boldsymbol{r}) = \frac{q q_0}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|}$

$E_G(\boldsymbol{r}) = q \phi (\boldsymbol{r})$

### 分子势能

$F(r)= \frac{\lambda}{r^s} - \frac{\mu}{r^t}$

• 在某一个值r0以内，分子里表现为排斥力并且随r减小而急剧上升；
• r0以外表现为牽引力，分子力逐渐增大，到某最大值后减小；
• 力程短，在r约为r0十倍时已几乎为零。

$E_p(r)=E_{p0} \left[ \left( \frac{r_0}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_0}{r} \right) ^6 \right]$

$E_p(r)= \begin{cases} \infty & r \le d\\ -E \left( \frac{d}{r} \right)^6 & r > d \end{cases}$

$E_p(r)= \begin{cases} \infty & r \le d\\ 0 & r > d \end{cases}$

d=0时，分子势能完全忽略，变为质点势，这时气体称作理想气体[22]，满足理想气体状态方程

## 脚注

1. ^ 文丽，吴良大．《高等数学·第二册：物理类（修订版）》，P354。
2. ^ 2.0 2.1 郑永令，贾起民，方小敏．《力学（第二版）》，P157。
3. ^ 磁标势
4. ^ 以上证明见金尚年，马永利．《理论力学（第二版）》，P48。
5. ^ 金尚年，马永利．《理论力学（第二版）》，P49。
6. ^ 贾瑞皋，薛庆忠．《电磁学（第二版）》，P46。
7. ^ 金尚年，马永利．《理论力学（第二版）》，P18。
8. ^ 非保守力能增加物体的总势能，而若是用保守力对物体做功，则物体一种势能增加而另一种势能减少，总势能不变。
9. ^ 舒幼生．《力学（物理类）》，P86。
10. ^ 赵凯华，罗蔚茵．《力学（第二版）》，P115。
11. ^ 郑永令，贾起民，方小敏．《力学（第二版）》，P163。
12. ^ 准确地说，当该物体对周围环境影响足够小时。比如电场中一个电量很小的点电荷（被称作试探电荷），当电量较大时会严重影响到周围物体上的电荷分布从而影响到势分布。关于试探电荷见电场#电场强度或贾起民，郑永令，陈暨耀．《电磁学（第二版）》，P13。
13. ^ 赵凯华，罗蔚茵．《力学（第二版）》，P337。
14. ^ 实际对于重力的定义略稍复杂，参见万有引力#两者的微妙差别
15. ^ 对于计入离心力的重力定义，重力还与物体所处经纬度有关。参见万有引力#两者的微妙差别。另外，由于地球实际分布非完全球对称及地球实际略椭，也导致重力在各地有微小差异。
16. ^ 由于离心力的原因，在一般情况下“铅直向下”方向并不指向地心，然而重力方向仍然是与铅直向下方向完全一致的。
17. ^ http://qxg.com.cn/n/?cid=44&nid=764&fc=nd
18. ^ 使用拉格朗日方程时也可以使用广义势能U=q(φ+v·A)描述，见#广义势能
19. ^ 包科达．《热物理学基础》，P44。
20. ^ 包科达．《热物理学基础》，P45。
21. ^ 包科达．《热物理学基础》，P58。
22. ^ 包科达．《热物理学基础》，P48。

## 参考资料

• 舒幼生. 《力学（物理类）》. 北京: 北京大学出版社. 2005. ISBN 7-301-09401-9.
• 赵凯华，罗蔚茵. 《新概念物理教程·力学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-015201-0.
• 文丽，吴良大. 《高等数学·第二册：物理类（修订版）》. 北京: 北京大学出版社. 2002. ISBN 7-301-07543-X/O·0600 请检查|isbn=值 (帮助).
• 郑永令，贾起民，方小敏. 《力学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 978-6-04-011084-5 请检查|isbn=值 (帮助).
• 贾起民，郑永令，陈暨耀. 《电磁学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-008603-4.
• 金尚年，马永利. 《理论力学（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 7-04-010808-9.
• 包科达. 《热物理学基础》. 北京: 高等教育出版社. 2001. ISBN 7-04-010154-8.