库仑定律

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库仑定律（Coulomb's law），法国物理学家查尔斯·库仑於1785年发现，因而命名的一条物理学定律。库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律。因此，电学的研究从定性进入定量阶段，是电学史中的一块重要的里程碑。庫侖定律闡明，在真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与距离平方成反比，与电量乘积成正比，作用力的方向在它们的连线上，同号电荷相斥，异号电荷相吸。

目录

[编辑] 纯量形式

库仑扭秤 (torsion balance) 示意圖。庫侖使用扭秤來測量兩個點電荷彼此互相作用的靜電力，從而創立了庫侖定律。
该图描述了库仑定律的基本原理：同号电荷相互吸引，异号电荷相互排斥。

庫侖定律的純量形式只描述兩個點電荷彼此相互作用的静電力的大小。一个電量為 q_2\,\! 的點電荷作用於另一個電量為 q_1\,\! 的點電荷，其静電力 F\,\! 的大小，可以用方程式表達為

F = k_{\mathrm{e}}\frac{q_1q_2}{r^2}\,\! ，

其中，r\,\! 是兩個點電荷之間的距離，k_{\mathrm{e}}\,\! 是庫侖常數，與自由空間性質 (properties of free space) 有關[1]：

\begin{align} k_{\mathrm{e}} &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \\ &= 8.987\ \times 10^9 \ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}} \\ \end{align}\,\! ；

其中，\epsilon_0\,\! 是真空電容率。

正值的 F\,\! 表示排斥力；而負值則表示牽引力[2]。

採用國際單位制，真空電容率 \epsilon_0\,\! 的值是 8.854\ 187\ 817\times 10^{ - 12}\,\! F·m−1[3]。採用厘米-克-秒制，單位電荷 (esu) ，又稱為靜庫侖 (statcoulomb) ，定義為使庫侖常數 k_{\mathrm{e}}\,\! 為 1 的數值。

庫侖定律的純量公式表明，力量的大小直接地與兩個點電荷的電量成正比，又與兩個點電荷之間距離的平方成反比。根據實驗數據，距離的指數，與 - 2\,\! 的偏差，低於十億分之一[4]！

[编辑] 電場

主条目：電場

從勞侖茲力定律，可以推引出，一個電量為 q\,\! 的點電荷，在距離為 r\,\! 以外的位置，產生的電場 E\,\! 的大小為

E = {1 \over 4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\! 。

假若電荷是正值，電場的方向是從點電荷以徑向朝外指出；假若是負值，則電場的方向是反方向。電場的單位是 V/m 或 N/C 。

[编辑] 向量形式

給予兩個電量分別為 q_1\,\! 、q_2\,\! ，位置分別為 \mathbf{r}_1\,\! 、\mathbf{r}_2\,\! 的點電荷。為了要得到點電荷 q_2\,\! 作用於點電荷 q_1\,\! 的力量 \mathbf{F_{21}}\,\! 的大小與方向，必須使用庫侖定律的向量形式：

\mathbf{F_{21}} = \cfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\cfrac{q_1 q_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} = \cfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\cfrac{q_1q_2}{r_{21}^2}\hat{\mathbf{r}}_{21}\,\! ；

其中，r\,\! 是兩個點電荷之間的距離，\hat{\mathbf{r}}_{21}\,\! 是從 P_2\,\! 指向 P_1\,\! 的單位向量。

假若兩個點電荷同性（電荷的正負號相同），則其電量的乘積 q_1q_2\,\! 是正值，兩個點電荷互相排斥。反之，假若兩個點電荷異性（電荷的正負號相反），則其電量的乘積 q_1q_2\,\! 是負值，兩個點電荷互相吸引。

[编辑] 離散電荷系統

由 N\,\! 個點電荷所組成的一個系統，其作用於一個電量為 q\,\! ，位置為 \mathbf{r}\,\! 的檢驗電荷的靜電力，可以用疊加原理來計算：

\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \cfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^N \cfrac{q_i'(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i'|^3}\,\! ；

其中，q_i'\,\! 和 \mathbf{r}_i'\,\! 分別是第 i\,\! 個點電荷的電量和位置。

[编辑] 連續電荷分佈

對於一個連續電荷分佈，我們可以將將每一個無窮小的空間元素視為一個電量為 dq\,\! 的點電荷，做無限求和。這程序等價於連續電荷分佈的區域積分。

線性電荷分佈（例如，一根帶電的直線）的電量為

dq = \lambda(\mathbf{r^\prime})dl^\prime\,\! ；

其中，\lambda(\mathbf{r^\prime})\,\! 是位於 \mathbf{r^\prime}\,\! 的線電荷密度（每單位長度所帶的電量），dl^\prime\,\! 是一個無窮小長度元素。

表面電荷分佈（例如，兩平行金屬板電容器的一片帶電的金屬板）的電量為

dq = \sigma(\mathbf{r^\prime})dA^\prime\,\! ；

其中，\sigma(\mathbf{r^\prime})\,\! 是位於 \mathbf{r^\prime}\,\! 的面電荷密度（每單位面積所帶的電荷），dA^\prime\,\! 是一個無窮小面積元素。

體積電荷分佈（例如，一個帶電的圓球）的電量為

dq = \rho(\mathbf{r^\prime})d\tau^\prime\,\! ；

其中，\sigma(\mathbf{r^\prime})\,\! 是是位於 \mathbf{r^\prime}\,\! 的體電荷密度（每單位體積所帶的電量），d\tau^\prime\,\! 是一個無窮小面積元素。

作用於一個電量為 q\,\! 的檢驗電荷的靜電力 \mathbf{F}\,\! ，可以表達為

\mathbf{F} =q\int dq \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime|^3}\,\! 。

其中，\mathbf{r}\,\! 是檢驗電荷的位置，dq'\,\! 是位於 \mathbf{r}^\prime\,\! 的無窮小電荷元素。

[编辑] 靜電近似

在上述兩種表述裏，只有當點電荷是處於固定狀態的時候，庫侖定律才是完全正確的；假若點電荷處於緩慢的運動狀態，則只能說庫侖定律是大概正確。這條件稱為靜電近似。當幾個點電荷處於相對運動狀態的時候，根據愛因斯坦的相對論，會有磁場產生，這連帶地改變了作用於點電荷的力量。

[编辑] 物理量表格

電荷 2 作用於電荷 1
電荷性質 關係 場性質
向量
作用力
\mathbf{F}_{21}= {1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_1 q_2 \over r^2}\mathbf{\hat{r}}_{21}\,\!
\mathbf{F}_{21}= q_1 \mathbf{E}_{21}\,\!
電場
\mathbf{E}_{21}= {1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_2 \over r^2}\mathbf{\hat{r}}_{21}\,\!
關係 \mathbf{F}_{21}= - \mathbf{\nabla}U_{21}\,\! \mathbf{E}_{21}= - \mathbf{\nabla}V_{21}\,\!
純量
電勢能
U_{21}={1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_1 q_2 \over r}\,\!
U_{21}=q_1 V_{21}\,\!
電位
V_{21}={1 \over 4\pi\epsilon_0}{q_2 \over r}\,\!

[编辑] 參閱

[编辑] 參考文獻

  1. ^ 庫侖常數，喬治亞州立大學線上物理
  2. ^ 庫侖定律，喬治亞州立大學線上物理
  3. ^ http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0
  4. ^ Williams, Faller, Hill (1971), "New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass", 物理報導期刊 26: 721–724
  • Griffiths, David J.（1998）．Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)．Prentice Hall．ISBN 0-13-805326-X． 
  • Tipler, Paul（2004）．Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.)．W. H. Freeman．ISBN 0-7167-0810-8． 
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