高斯磁定律

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。
卡爾·高斯

電磁學裏,高斯磁定律闡明,磁場散度等於零。因此,磁場是一個螺線向量場。從這事實,可以推斷磁單極子不存在。磁的基本實體是磁偶極子,而不是磁荷。當然,假若將來科學家發現有磁單極子存在,那麼,這定律就必須做適當的修改,如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者卡爾·高斯而命名。

在物理學界,很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律,但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」[1],或明確地表示這定律沒有取名字[2]。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」[3],因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波

理論方程式形式[编辑]

閉曲面與開放曲面示意圖。左邊是閉曲面例子,包括球面環面立方體面;穿過這些曲面的磁通量等於零。右邊是開放曲面,包括圓盤面正方形面半球面;都具有邊界(以紅色顯示),不完全圍入三維體積。穿過這些曲面的磁通量不一定等於零。

高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式:微分形式和積分形式。根據散度定理,這兩種形式為等價的。

高斯磁定律的微分形式為

\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\,\!

其中,\mathbf{B}\,\! 是磁場。

這是馬克士威方程組中的一個方程式。

高斯磁定律的積分形式為

\oint_{\mathbb{S}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = 0\,\!

其中,\mathbb{S}\,\! 是一個閉曲面,\mathrm{d}\mathbf{a}\,\! 是微小面積分(請參閱曲面積分)。

這方程式的左手邊項目,稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。

磁向量勢[编辑]

根據亥姆霍兹分解Helmholtz decomposition),因為磁場的散度等於零,必定存在有向量場 \mathbf{A}\,\! 滿足條件

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\,\!

這向量場 \mathbf{A}\,\! 稱為磁向量勢

請注意並不是只有一個向量場 \mathbf{A}\,\! 滿足這條件。實際上,有無限多個解答。應用一項向量恆等式

\nabla\times(\nabla \phi)=0\,\!

給予任意函數 \phi\,\! ,那麼, \mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\phi\,\! 也是一個解答。磁向量勢的這種特性,稱為規範自由

磁場線[编辑]

透過鐵粉顯示出的磁場線。將條狀磁鐵放在白紙下面,鋪灑一堆鐵粉在白紙上面,這些鐵粉會依著磁場線的方向排列,形成一條條的曲線,在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。

磁場,就像任何向量場,可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線,其方向對應於磁場的方向,其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零,磁場線沒有初始點,也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈,或者兩個端點都延伸至無窮遠。

磁單極子[编辑]

假若,有科學家發現磁單極子存在於宇宙,則高斯磁定律不正確,必須修正。磁場的散度會與磁荷密度 \rho_m\,\! 成正比[1]

\nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_0\rho_m\,\!

其中,\mu_0\,\!磁常數

必歐-沙伐定律[编辑]

從必歐-沙伐定律,可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明,設定電流密度 \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\! ,則磁場為

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} d^3r' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\,\!

其中,\mathbf{r}'\,\! 是源位置,\mathbf{r}\,\! 是場位置,\mathbb{V}'\,\! 是積分的體積,d^3 r'\,\! 是微小體積元素。

應用一項向量恆等式

\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)\,\!

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標,可以移到積分外,改為旋度

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} d^3r' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!

應用一項向量恆等式

\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\,\!

所以,高斯磁定律成立:

\nabla\cdot\mathbf{B}=0\,\!

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999: pp. 237, 273. ISBN 978-0-471-30932-1. 
  2. ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 321. ISBN 0-13-805326-X. 
  3. ^ Joannopoulos John D.; Johnson, Steve G.;Winn, Joshua N. and Meade, Robert D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd. Princeton, NJ USA: Princeton University Press. 2008. pp. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.