算术研究

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初版的封面

算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae)是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯於1798年写成的一本数论教材,在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马欧拉拉格朗日勒让德等数学家在数论方面的研究结果,并加入了许多他自己的重要成果。

写作历史[编辑]

高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年後,他完成了初稿。1797年11月,高斯开始对初稿进行重写和修订,使之成为可以打印出来的成熟版本。打印工作於1798年4月开始,但由于机器的原因,速度缓慢。然而这也使得高斯有时间补充一些新的内容,特别是第五章的二次互反律的部分:1801年夏季最终出版时的长度已经是初稿时的两倍。[1]

主题[编辑]

《算术研究》包括了初等数论和现在称为代数数论领域的一部分。然而,高斯在书中并未认识到抽象代数的核心:的概念,因此没有加以应用。高斯将这本书的主题定位为他所称的“高等算术”。在这本书的序言一开头,高斯明确地说到:

本书将要研究的问题属于数学中如下的一部分:其考虑的对象只限于整数,偶尔涉及分数,但绝对与无理数无关。[2]

内容[编辑]

全书有655页,分为七个部分共335篇文章,由浅入深,从同余理论起步,探讨了同余齐次式、同余方程和二次剩余理论。在二次剩余理论中,高斯在前人的基础上首次给出了二次互反律的证明。其后高斯又得出了双二次互反律三次互反律,并对所谓的高斯整数进行了研究,得到了代数数论的一些基本成果[1]

第一部分:同余概论。建立了到今天仍在使用的同余的概念和记号。
第二部分:主要研究线性同余方程,给出了算术基本定理辗转相除法中国剩余定理等初等数论的基本结果。
第三部分:“幂剩余论”。讨论了费马小定理原根的存在性和威尔逊定理

前三部分的内容大都是其他数学家的成果,但高斯是首个将这些成果系统地汇集在一本书裡的人。他也是首个意识到唯一分解定理之重要性的人。

进入第四部分後,大部分内容便是高斯的原创了。

第四部分:“二次同余论”。重点讨论了二次剩余的理论。高斯提出了他视为“从中可以推得几乎所有与二次剩余有关的东西”[3] 的“基础定理”的二次互反律
如果p是形式为4n+1,那么p(如果p是形式为4n+3那么-p)是模每个为模p的二次剩余(非剩余)的质数的二次剩余(非剩余)。
高斯将这个命题分成多个单独情况,然后用归纳法给出了第一个证明,并运用这个定理得到了一些基本结果[1][2]
第五部分: “二次型与二次不定方程”。这一部分占据了全书的一半有多[1],高斯研究了模p同余中的整系数二次型以及二次型本征等价的性质,得到了整数表示为二次形式的一般规律。之后高斯又研究了二次型的分类以及约简。并触及了双二次互反律和三次互反律的研究。
第六部分: 前五章结论的应用。前五章,特别是第四、五章得到的丰富成果使得在这章用来解决很多问题。高斯讨论了分数分解,十进展开以及二次同余的问题,并提出了两个素性检验的方法。
第七部分: 分圆多项式尺规作图。高斯探求了尺规作圆内接正多边形的方法,并给出了圆内接正19边形和正17边形的作法。并得到了所谓的“高斯和”的概念以及一些相关成果[1]

高斯曾经写过《算术研究》的第八部分,探讨更高次的同余方程,但并没能完成。草稿在他逝世後分批出版[1]

影响[编辑]

在《算术研究》发表以前,数论研究只是一些孤立定理与猜想。高斯首次将这些零星的结果加以系统的处理,修补和改进了以往的证明,并在此之上发展出了自己的一系列理论与成果。《算术研究》是现代数论研究的开端[4]

《算术研究》一书的逻辑结构——声明定理、给出证明,然后给出系理或推论——为以后的教科书编写提供了一个榜样,成了后世教材的标准结构。为了使读者能够理解证明的逻辑思路,高斯在证明后会给出相应的例子,这一点也为后来的教材所采用[1]

《算术研究》亦是十九世纪欧洲数学家如库默尔狄利克雷戴德金等人著书的出发点。他们继承了高斯的研究。许多《算术研究》中的评注和没有证明的命题成为了新的研究热点。即使到了二十世纪,《算术研究》仍在产生影响。比如第五部分中高斯简要地叙述了他关于虚二次域类数的计算,并猜想他已经找到了所有类数为1、2和3的虚二次域。这个后来称为类数问题的猜想直到1986年才获得了肯定的答案[5]。同样在第五部分,高斯证明了可以被解释为黎曼猜想的第一类非平凡情况:哈斯-韦伊定理[6]

译本和相关著作[编辑]

《算术研究》虽然是一部十分重要的数论著作,但由于全书以拉丁文写就,内容深奥难懂,因此将其翻译成各国语言和进行注释阐述的工作一直不断。1807年,《算术研究》的法文译本出版。1863年,狄利克雷写了《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlentheorie)一书,对《算术研究》作了明晰的阐释。1889年德文译本出版。1959年出版了俄文译本;1965年出版了英文版。

引用[编辑]

《算术研究》常常被引用,出现在各种数学论文、著作和教材的注释中。引用时一般简写为“DA”[1]

评价[编辑]

  • “高斯曾说:‘数学是科学的女皇,数论则是数学的女皇。’如果这是真理,我们还可以补充一点:《算术研究》是数论的宪章。”——莫里茨·康托
  • “此书(《算术研究》)是一座不朽的丰碑,揭示了人类思想所能达到的浩瀚的广度和令人惊叹的深度。”——爱德华·卢卡斯
  • “众书之王”——利奥波德·克罗内克
  • “高斯首次将数学的这个部分(数论)变成了一门独立的科学,而《算术研究》则是第一部详尽而系统的著作。……由于雅可比狄利克雷……这本二十年来一直被七道漆封的著作成为了当代的数学。……封漆还未完全解开。”——约翰·西奥多·梅兹
  • “数论曾一度止步不前,……这就是为什么深奥而新颖的《算术研究》预示着高斯将成为欧洲最伟大的头脑之一。”——路易·潘索

参见[编辑]

注释及参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Catherine Goldstein; Norbert Schappacher, Joachim Schwermer. The Shaping of Arithmetic after C.F.Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. 施普林格出版社Springer). 2007年. ISBN 3-540-20441-5 (英语). 
  2. ^ 2.0 2.1 Carl Friedrich Gauss; Poullet-Delisle 译. Recherches Arithmetiques. 1807年 (法语). 
  3. ^ DA,art.131:“...omnia fere quae de residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati innituntur.”
  4. ^ 《算术研究》介绍
  5. ^ Ireland, K.; Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, New York: Springer-Verlag, 358–361, 1993, ISBN 038797329X 
  6. ^ Silverman, J.; Tate, J., Rational Points on Elliptic Curves, New York, New York: Springer-Verlag, 110, 1992, ISBN 0387978259