高斯光束

高斯光束的瞬时辐射照度電腦繪圖

场强（蓝色）和辐射照度（黑色）在坐标轴上的分布情况

在光学中，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐射照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光在光谐振腔里以TEM₀₀波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学里一种方便、广泛应用的原因。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时的性质。

数学形式

高斯光束作为电磁波，其电场的振幅为：

$E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,$

纳米激光器产生的激光

这里

$r$为场点距离光轴中心的径向距离

$z$为光轴上光波最狭窄位置束腰的位置坐标

$i$为虚数单位（即$i^2 = -1$）

$k = { 2 \pi \over \lambda }$ 为波数（以弧度每米为单位）

$E_0 = |E(0,0)|$,

$w(z)$为电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e²的点的半径

$w_0 = w(0)$为激光的束腰宽度

$R(z)$为光波波前的曲率半径

$\zeta(z)$为轴对称光波的Gouy相位，对高斯光束的相位也有影响

对应的辐射照度时域平均值为

$I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,$

这里$I_0 = I(0,0)$为光波束腰处的辐射照度。常数$\eta \,$为光波传播介质的波阻抗在真空中，$\eta = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 1/(\varepsilon_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega}$。

波束参数

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。

束宽

对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个最小值$w_0$，这个最小值被称为束腰。波长为$\lambda$的光波的腰斑位置在$z$轴上的分布为

$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 } \ .$

这里将$z = 0$定义为束腰的位置。

$z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$

被称为瑞利距离。

瑞利距离和共焦参数

与束腰轴向距离等于瑞利距离$z_R$处的束宽为

$w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2}. \,$

这两点之间的距离称作是共焦参数或光束的焦深。

$b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .$

曲率半径

$R(z)$是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

$R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ .$

光束偏移

当$z \gg z_\mathrm{R}$，参数$w(z)$趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in\ radians}).$

在原理束腰的位置，光束弯散的总角度为

$\Theta = 2 \theta\ .$

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。，通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型进队束腰大于$2 \lambda / \pi$的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积来衡量。对于高斯光束，BBP的数值就是光束的偏移量与束腰$w_0$的乘积。实际光束的BPP通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的BPP数值与理想激光束的BPP数值的比值被称为“M²”。高斯光束的M²值为1，而所有的是激光束的M²值均大于1，并且质量越好的激光的M²值越接近1。

Gouy相位

光束的纵向相位延迟，或称Gouy相位为

$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .$

当光束通过焦点时，除了正常情况的相移，Gouy相移为$\pi$。

复数形式的光束参数

光束参数的复数为

$q(z) = z + q_0 = z + iz_\mathrm{R} \ .$

为了计算方便，常常使用它的倒数

${ 1 \over q(z) } = { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } = { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } - i { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }.$

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是分析它在光谐振腔中谐振过程时。

利用复数光束参数$q$，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

${u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right).$

在二维的情况里，可以讲散光的光束表达为乘积的形式

${u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),$

对于圆对称的普遍情况，${q}_x = {q}_y = {q}$且$x^2 + y^2 = r^2$，可以得出

${u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).$

功率和辐射照度

流经孔隙的功率

流经距离z轴半径为r的圆的功率为

$P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,$

这里

$P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2$为电磁波传播的总能量

流经以$r = w(z) \,$为半径的圆的能量占总能量的比值为

${ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .$

类似的，占光波总能量约95%的部分将流经半径为$r = 1.224\cdot w(z) \,$的圆形面积。

辐射照度的峰值和平均值

在与束腰的轴向距离为$z$的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

$I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.$

可以看出，辐射照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为$w(z)$圆的面积。

参考文献

• Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.

• Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16.

• Yariv, Amnon. Quantum Electronics 3rd. Wiley. 1989. ISBN 0-471-60997-8. 

• F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. arXiv:physics/0410021 [physics.optics]. 2004. 

• Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega. Ince Gaussian beams. Opt. Lett. (OSA). 2004, 29 (2): 144–146. Bibcode:2004OptL...29..144B. doi:10.1364/OL.29.000144. PMID 14743992. 
• E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato. Hypergeometric-Gaussian beams. Opt. Lett. (OSA). 2007, 32 (21): 3053–3055. Bibcode:2007OptL...32.3053K. doi:10.1364/OL.32.003053. PMID 17975594. 
• Gaussian Beam Propagation - CVI Melles Griot Technical Guide
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport