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高斯光束

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高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖
场强(蓝色)和辐照度(黑色)在坐标轴上的分布情况

光学中,高斯光束英语Gaussian beam)是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件,在这种情况里,激光在光谐振腔英语optical resonator里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射,高斯光束会变换成另一种高斯光束,这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学里一种方便、广泛应用的原因。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似英语Paraxial approximation解(属于小角近似英语Small-angle approximation的一种)。这个解具有高斯函数的形式,表示电磁场的复振幅。电磁波的传播包括电场磁场两部分。研究其中任一个场,就可以描述波在传播时的性质。

数学形式[编辑]

高斯光束作为电磁波,其电场的振幅为:

E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\ ,
纳米激光器产生的激光

这里

r为场点距离光轴中心的径向距离
z为光轴上光波最狭窄位置束腰的位置坐标
i虚数单位(即i^2 = -1
 k = { 2 \pi  \over   \lambda  } 波数(以弧度每米为单位)
E_0 = |E(0,0)|,
w(z)为电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径
w_0 = w(0)为激光的束腰宽度
R(z)为光波波前的曲率半径
\zeta(z)为轴对称光波的Gouy相位,对高斯光束的相位也有影响

对应的辐照度时域平均值为

I(r,z) =  { |E(r,z)|^2  \over  2 \eta   }  = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,

这里I_0 = I(0,0)为光波束腰处的辐照度。常数\eta  \,为光波传播介质的波阻抗英语Wave impedance在真空中, \eta = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 1/(\varepsilon_0 c) \approx 376.7 \ \mathrm{\Omega}

波束参数[编辑]

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定,下面将分别予以介绍。

束宽[编辑]

对于在自由空间传播的高斯光束,其腰斑英语spot size位置的半径在光轴方向总大于一个最小值w_0,这个最小值被称为束腰。波长\lambda的光波的腰斑位置在z轴上的分布为

w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 }  \ .

这里将z = 0定义为束腰的位置。

z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}

被称为瑞利距离英语Rayleigh length

瑞利距离和共焦参数[编辑]

与束腰轴向距离等于瑞利距离z_R处的束宽为

 w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2}. \,

这两点之间的距离称作是共焦参数英语confocal parameter或光束的焦深英语depth of focus

b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .

曲率半径[编辑]

R(z)是光束波前的曲率半径,它是轴向距离的函数

R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right] \ .

光束偏移[编辑]

z \gg z_\mathrm{R},参数w(z)趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”,它等于

\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in\ radians}).

在原理束腰的位置,光束弯散的总角度为

\Theta = 2 \theta\ .

由于这一性质,聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直,激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应,但是高斯光束是一种特殊情况,其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似,当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后,这种模型将不再适用。[1],通过上述偏移的表达式,这意味着高斯光束模型仅对束腰大于2 \lambda / \pi的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积英语beam parameter product (BPP)来衡量。对于高斯光束,BBP的数值就是光束的偏移量与束腰w_0的乘积。实际光束的BPP通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下,实际光束的BPP数值与理想激光束的BPP数值的比值被称为“M2”。高斯光束的M2值为1,而所有的是激光束的M2值均大于1,并且质量越好的激光的M2值越接近1。

Gouy相位[编辑]

光束的纵向相位延迟,或称Gouy相位为

\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .

当光束通过焦点时,除了正常情况的相移,Gouy相移为\pi

复数形式的光束参数[编辑]

光束参数的复数为

 q(z) =  z + q_0  = z + iz_\mathrm{R} \ .

为了计算方便,常常使用它的倒数

  { 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } =   { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2  }  -  i  { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2  } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z)  }.

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位,特别是分析它在光谐振腔中谐振过程时。

利用复数光束参数q,具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

{u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right).

在二维的情况里,可以讲散光的光束表达为乘积的形式

{u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z),

对于圆对称的普遍情况,{q}_x = {q}_y = {q}x^2 + y^2 = r^2,可以得出[2]

{u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right).

功率和辐照度[编辑]

流经孔隙的功率[编辑]

流经距离z轴半径为r的圆的功率

  P(r,z) =  P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,

这里

 P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2 为电磁波传播的总能量

流经以r = w(z) \, 为半径的圆的能量占总能量的比值为

{ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\ .

类似的,占光波总能量约95%的部分将流经半径为r = 1.224\cdot w(z) \, 的圆形面积。

辐照度的峰值和平均值[编辑]

在与束腰的轴向距离为z的位置,利用洛必达法则,可以计算该位置的辐射照度峰值

I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} 
         = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} 
         = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.

可以看出,辐照度峰值为平均值的两倍,后者等于总能量除以半径为w(z)圆的面积。

参考文献[编辑]

  1. ^ Siegman (1986) p. 630.
  2. ^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
  • Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
  • Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16.