亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程（英语：Helmholtz equation）是一個描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。其基本形式如下：

$(\nabla^2 + k^2)A = 0$

亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。例如，考虑波动方程：

$\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\boldsymbol{x},t) = 0$

对上式进行分离变量（$u=A(\boldsymbol{x})T(t)$），可以得到两个微分方程：

$\nabla^2 A + k^2 A=(\nabla^2 + k^2)\phi = 0, \quad \frac{\partial^2{T}}{\partial{t}^2} + k^2c^2T = 0$

其中 $k$ 是分离常数波數，$A$是振幅。我们看到现在有了空间变量$\boldsymbol{x}$的亥姆霍兹方程和一个二阶时间常微分方程。时间解是一个正弦和余弦函数的线性组合，而空间解的形式依赖于具体问题的边界条件。经常可以使用拉普拉斯变换或者傅立叶变换这样的积分变换将双曲的偏微分方程转化为亥姆霍兹方程的形式。

因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程在物理学中电磁辐射、地震学和声学等相关研究领域里有着广泛应用。

參閱

• 基爾霍夫積分定理

參考文獻

• Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. 2002: ch. 19. ISBN 0-521-89067-5. 

外部連結

• Helmholtz Equation at EqWorld