拉普拉斯算子

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

數學以及物理中, 拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符英语Laplace operator, Laplacian)是一個微分算子,通常寫成 Δ 或 ∇²;這是為了紀念皮埃爾-西蒙·拉普拉斯而命名的。

拉普拉斯算子有許多用途,此外也是椭圆型算子中的一個重要例子。

在物理中,常用於波方程數學模型熱傳導方程以及亥姆霍茲方程

靜電學中,拉普拉斯方程泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中,其代表薛丁格方程式中的動能項。

在數學中,經拉普拉斯算子運算為零的函數稱為调和函数;拉普拉斯算子是霍奇理論的核心,並且是德拉姆上同調的結果。

定义[编辑]

拉普拉斯算子是 n欧几里得空间中的一个二阶微分算子,定义为梯度\nabla f)的散度\nabla \cdot f)。因此如果 f二阶可微实函数,则f的拉普拉斯算子定义为:

\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f,    (1)

f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系x_i中的所有非混合二阶偏导数

\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}.   (2)

作为一个二阶微分算子,拉普拉斯算子把 Ck 函数映射到 Ck-2 函数,对于k ≥ 2。表达式(1)(或(2))定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn),或更一般地,定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω),对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵

\Delta f = \mathrm{tr}(H(f)).\,\!

坐標表示式[编辑]

二維空間[编辑]

\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
其中xy代表 x-y 平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為:
 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}

三維空間[编辑]

笛卡兒坐標系下的表示法

\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
圓柱坐標系下的表示法
 \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.
球坐標系下的表示法
 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.

N 维空间[编辑]

在参数方程为x=r\theta \in {\mathbb R}^N(其中r \in [0,+\infty)以及 \theta \in S^{N-1})的N 维球坐标系中,拉普拉斯算子为:

 \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f

其中\Delta_{S^{N-1}}N-1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把{\partial^2 f \over \partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}的项写成\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)

恒等式[编辑]

  • 如果fg是两个函数,则它们的乘积的拉普拉斯算子为:
\Delta(fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot(\nabla g))+f(\Delta g).

f是径向函数f(r)g球谐函数Y_{lm}(\theta,\phi),是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量,而角函数的梯度与径向向量相切,因此:

2(\nabla f(r))\cdot(\nabla Y_{lm}(\theta,\phi))=0.

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数:

\Delta Y_{\ell m}(\theta,\phi) = -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} Y_{\ell m}(\theta,\phi).

因此:

\Delta( f(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) ) = \left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi).

推广[编辑]

复杂空间上的实值函数[编辑]

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间,这时它就有可能是椭圆型算子双曲型算子,或超双曲型算子

闵可夫斯基空间中,拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子

\square = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } -
\frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号,而在欧几里德空间中则是正号。因子 c 是需要的,这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量;如果 x 方向用寸来衡量,y 方向用厘米来衡量,也需要一个类似的因子。

值域爲复杂空间[编辑]

向量值函數的拉普拉斯算子[编辑]

拉普拉斯算子作用在向量值函數上,其結果被定義爲一個向量,這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯,卽

\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)

更一般地,對沒有坐標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恒等式的啓發):

 \nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})

也可用類似于拉普拉斯-德拉姆算子的方式定義,然後證明“旋度的旋度”向量恒等式.

拉普拉斯-贝尔特拉米算子[编辑]

拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子,称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子(也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子)。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法,是通过拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。

参考文献[编辑]

  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley-Longman. 1970. 
  • Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 
  • Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 

外部連結[编辑]