数学模型

數學模型使用數學語言來描述一個系統。數學模型不只用在自然科學（如物理、生物學、地球科學、氣象學）和工程學上，也用在社會科學（如經濟學、心理學、社會學和政治科學）上；其中，物理學家、工程師、電腦科學家和經濟學家們最常使用數學模型。

Eykhoff 定義「數學模型」為「對一個現存（或被建構的）系統本質的表述，以能以有用的形式表示出此系統的知識來。」

數學模型可以有許多種的形式，不只限定在動態系統、統計模型、微分方程或賽局模型而已。不同的模型可能有相同的形式，同一個模型也可能包含了不同的抽象結構。

例子

• 人口成長：一個簡單（但粗略）的人口成長模型為馬爾薩斯成長模型；另一個較理想且被大量使用的人口成長模型為羅吉斯函數和其延伸。
• 位能場中的粒子模型：在此模型中，粒子被視為一個質量為 m 的點，其軌跡為一將時間映射至其空間座標的函數 x : R → R³ ，位能場由一函數 V:R³ → R 給定，則其軌跡為如下微分方程的解：

$m \frac{d^2}{dt^2} x(t) = - \operatorname{grad} \left( V \right) (x(t)).$

需注意此模型假定粒子為一質點，但這在許多情形之下是錯誤的，如行星運動的模型之類。

数学模型的分类

按模型的应用领域分类

1. 生物数学模型
2. 医学数学模型
3. 地质数学模型
4. 数量经济学模型
5. 数学社会学模型

按是否考虑随机因素分类

1. 确定性模型
2. 随机性模型

按是否考虑模型的变化分类

1. 静态模型
2. 动态模型

按应用离散方法或连续方法分类

1. 离散模型
2. 连续模型

按建立模型的数学方法分类

1. 几何模型
2. 微分方程模型
3. 图论模型
4. 规划论模型
5. 马氏链模型

按人们对事物发展过程的了解程度分类

1. 白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
2. 灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。
3. 黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。

参见

• 数学建模