一次方程

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

一次方程式也被称为线性方程,因为在笛卡儿坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量,因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式

如果一个一次方程中只包含一个变量(x),那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量(x和y),那么就是一个二元一次方程,以此类推。

一元一次方程式[编辑]

一元一次方程式是指一个方程式中仅含有一個变量,且等号两边至少有一个一次单项式的方程。

任意一个一元一次方程形式经化简后,都可化为形如

ax+b=0(a\ne 0)

的方程。它的解为

x=-\frac{b}{a}

以下就是一個例子:

3x-17=-17x+3.

它的解便是:

20x=20
x=1

一元一次方程式是等於一條線性方程式:簡單點來說,如 x^2 或以上的次方是不容許的。

注意:a=0 时, ax+b=0 不是一元一次方程式。

如果 b\ne 0,此方程式无解;如果 b=0,则此方程式有无限多解。

二元一次聯立方程式[编辑]

求解二元一次聯立方程式可以使用代入消去法或加減消去法。

代入消去法[编辑]

代入消去法就是先利用其中一个方程,将含有其中一個未知數的代数式表示另一個未知數。然后代入另一个方程,從而將這組方程转化成解两个一元一次方程式的方法。

例如: \begin{cases}
x=2+3 \\
x+y=21
\end{cases}

x=2+3

代入 x+y=21

2+3+y=21

從而求出 y

加減消去法[编辑]

加减消去法就是将两个方程或相,从而消去其中一个未知数的方法。

通常,我们先将其中一个方程的两边同时乘以一个不是0的数,使其中的一个系数与另外一个方程的对应系数相同。再将两个方程相加或相減。

例如: \begin{cases}
x+y=13 \\
2y-x=2
\end{cases}

把兩式相加消去 x

y+2y=13+2

從而求出 y

线性函数及线性化之间的联系[编辑]

这是一个二元一次方程组的坐标系表示图,蓝线与红线分别各自表示一个一元一次方程,两线相交处就是这个方程组的解

在例子中(不是特例)变量 yx函数,而且函数和方程的图像一致。

通常线性方程在实际应用中写作:

\boldsymbol{y = f(x)}

这里f有如下特性:

\boldsymbol{f(x + y) = f(x) + f(y)}

\boldsymbol{f(ax) = af(x)}

这里a不是向量

一个函数如果满足这样的特性就叫做线性函数,或者更一般的,叫线性化

因为线性的独特属性,在同类方程中对线性函数的解决有疊加作用。这使得线性方程最容易解决和推演。

线性方程在应用数学中有重要规律。使用它们建立模型很容易,而且在某些情况下可以假设变量的变动非常小,这样许多非线性方程就转化为线性方程。

微分[编辑]

y=Ax+B,则 \frac{dy}{dx}=A

所以,线性函数并无驻点,即没有极大值极小值,且线性函数的斜率是未知数 x 的系数。

参见[编辑]