牛顿法

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牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数 $f(x)$ 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 $f(x)=0$ 的根。

[编辑] 起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿死后的1736年公开发表）。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

[编辑] 方法说明

首先，选择一个接近函数 $f(x)$ 零点的 $x_0$ ，计算相应的 $f(x_0)$ 和切线斜率 $f'(x_0)$ （这里 $f'$ 表示函数 $f$ 的导数）。然后我们计算穿过点 $(x_0, f(x_0))$ 并且斜率为 $f'(x_0)$ 的直线和 $x$ 轴的交点的 $x$ 坐标，也就是求如下方程的解：

$x\cdot f'(x_0)+f(x_0)-x_0\cdot f'(x_0)=0$

我们将新求得的点的 $x$ 坐标命名为 $x_1$ ，通常 $x_1$ 会比 $x_0$ 更接近方程 $f(x)=0$ 的解。因此我们现在可以利用 $x_1$ 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

已经证明，如果 $f'$ 是连续的，并且待求的零点 $x$ 是孤立的，那么在零点 $x$ 周围存在一个区域，只要初始值 $x_0$ 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果 $f'(x)$ 不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

[编辑] 牛顿法开方的例子

《从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法》

(136期《数学传播》作者王晓明王蕊珂，编写者也是王蕊珂，不存在版权问题。

求 $A$ 的开 $k$ 次方等价于求函数：

$f(x)=x^k - A$

的零点。可利用牛顿法求上述函数的零点：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ = $X_{n}+(A/X^{k-1}_{n}-X_{n})1/k$

例如开立方：　 $X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3$

设：A=5，即k=3,即求： $\sqrt[3]{5}=x$ ，5介于1³至2³之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

　　初始值 $X_{0}$ 可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取 $X_{0}=2.$ 按照公式：

　　第一步： $X_{1}$ =2+（5/2²-2)1/3=1.75。输入值大于输出值，负反馈；即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。

　　第二步： $X_{2}$ =1.7+（5/1.7²-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值，正反馈。即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

　　第三步： $X_{3}$ =1.71+（5/1.71²-1.71)1/3=1.709.

　　第四步： $X_{4}$ =1.709+（5/1.709²-1.709)1/3=1.7099

　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099³

　　当然初始值 $X_{0}$ 也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是 $X_{1}=1.7>$ 。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

如果用這個公式開平方

$X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.$

例如，A=5： $\sqrt[]{5}=x$

5介於2²至3²之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取中間值2.5。第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。

这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。

　　 $A=(X+-Y)^{K}$ 展开，把A展开后代入公式就得到推导过程。X是假想值，Y是误差值 $Y=(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k$ 。

　　 $X_{n+1}$ = $X_{n}$ -( $X^{K}-A$ )/( $KX^{K-1}$ )= $X_{n}$ -f(X)/f'(x)= $X_{n}$ +(A/ $X^{K-1}-X_{n}$ )1/K

　　 $f(X)=X^{K}-A$ ; $f'(X)=X^{K-1}K$ .

[编辑] 其它例子

[编辑] 第一个例子

求方程f(x) = cos(x) − x³的根。两边求导，得f '(x) = −sin(x) − 3x²。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1（对于所有x），则-1 ≤ x³ ≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1，可知方程的根位于0和1之间。我们从x₀ = 0.5开始。

$\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0.5 - \frac{\cos(0.5) - 0.5^3}{-\sin(0.5) - 3 \times 0.5^2} & = & 1.112141637097 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & = & \vdots & = & \underline{0.}909672693736 \\ x_3 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.86}7263818209 \\ x_4 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.86547}7135298 \\ x_5 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{0.8654740331}11 \\ x_6 & = & \vdots &= & \vdots & = & \underline{0.865474033102} \end{matrix}$