克莱因-戈尔登方程

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克莱因-戈尔登方程式(Klein-Gordon equation)是相对论量子力学量子场论中的最基本方程式,它是薛定谔方程式相对论形式,用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程式是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。

陳述[编辑]

克莱因-戈尔登方程為

 \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0

很多時候會用自然單位c=ħ=1)寫成

 - \partial_t^2 \psi + \nabla^2 \psi = m^2 \psi

由於平面波為此方程已知的一組解,所以方程形式由它決定:


\psi = e^{-i\omega t + i k\cdot x } = e^{i k_\mu x^\mu}

遵從狹義相對論的能量動量關係式

 -p_\mu p^\mu = E^2 - P^2 = \omega^2 - k^2 = - k_\mu k^\mu = m^2\,

跟薛定諤方式不同,每一個k在此都對應着兩個\omega,只有通過把頻率的正負部份分開,才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變,則其形式為


\left[ \nabla^2 - \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \psi(\mathbf{r}) = 0

相对论量子力学下的形式推导[编辑]

自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式:


\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi

其中\mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{\nabla}动量算符。

薛定谔方程式并非相对论协变的,意味着它不满足爱因斯坦狭义相对论

利用狭义相对论中四维动量的不变性导出的相对论动量能量关系,相对论能量

E = \sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}

替换薛定谔方程式左边自由粒子的动能\frac{\mathbf{p}^2}{2m}

并最终得到它的协变形式


(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0,

其中 \mu = \frac{mc}{\hbar} \,

达朗贝尔算符 \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\,

从相对论量子力学的观点来看,达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的波方程

量子场论下的形式推导[编辑]

场论中,对于自旋为零的场(标量场),拉格朗日量被写成

L=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位,将光速c和普朗克常数\hbar都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程  \frac{\partial L}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}\phi)} = 0, 可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看,以上推导过程都在经典场论的范围之内,因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的场方程式

自由粒子解[编辑]

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念,但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的波包解:


\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}

其中
-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.

从克莱因-戈尔登方程式得出的能量本征值

E =\pm\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}

因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时,由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的.英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程,但这个方程仍然没有避免出现负能量。从那时起物理学家们逐渐意识到负能量的出现实际上意味着反粒子的存在。

行波解[编辑]

克莱因-戈尔登方程有行波解[1]

Klein Gordon equation traveling wave plot4 
Klein Gordon equation traveling wave plot5 
Klein Gordon equation traveling wave plot6 

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer