薛定谔方程

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薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

$i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x},t)}{\partial t}=\hat{H}\Psi(\vec{x},t)$

其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符。并且 $\hat{H}=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\nabla ^2+U$ U是系统的势能，也可稱為位能。

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 $\hat{H}$ 不是时间的函数的情况。这时薛定谔方程成为定态薛定谔方程， $\Psi (\vec{x},t)$ 可以分解成一个只与空间有关的函数和一个只与时间有关的函数乘积，即 $\Psi (\vec{x},t)=\psi (\vec{x})f(t)$ 。把它带入薛定谔方程，就会得到 $f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}$ 。而 $\psi(\vec{x})$ 则满足如下方程：

$\hat{H}\psi(\vec{x})=E\psi(\vec{x})$

[编辑] 背景與發展

1905年，愛因斯坦於提出光電效應時指出

$E = h f\;$

其中 $E$ 是光子能量， $f$ 表光子的頻率， $h$ 是普朗克常數。

1924年，路易‧德布羅伊提出德布羅伊假說，說明所有粒子都具有波的性質。

$p=h / \lambda\;$

其中 $λ$ 表波長，p 表粒子的動量，且此假說符合愛因斯坦的公式與狹義相對論。因此在德布羅伊假說之下， $E = h f\;$ 此式依舊合理，且此式亦可以描述光子以外的粒子。以角頻率 $\omega = 2\pi f\;$ ，以及波數 $k = 2\pi / \lambda\;$ ，和約化蒲朗克常數 $\hbar = h / 2 \pi\;$ ，以及p、k為向量重新表示上述式子，可得到

$E=\hbar \omega$

$\underline{p}=\hbar \underline{k}\;$

1925年，薛丁格發現平面波的相位，可用一個複數相位因子來表示：

$\psi \approx \exp(i(\underline{k}.\underline{x \omega t))$

且發現

$\frac{\partial}{\partial t} \psi = -i\omega \psi$

因此

$E \psi = \hbar \omega \psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi$

且相同地由於

$\frac{\partial}{\partial x} \psi = i k_x \psi$

故

$p_x \psi = \hbar k_x \psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \psi$

因此

$p_x^2 \psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi$

因此得到

$p^2 \psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \psi = -\hbar^2(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}) \psi = -\hbar^2\nabla^2 \psi$

再由古典力學的公式，一個粒子的總能為E，質量為m，在位能V處移動：

$E=\frac{p^2}{2m}+V$

薛丁格得到一個單一粒子在三維空間有位能之處移動時的方程式：

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi$

薛丁格利用此方程式，將氫原子的單一電子以波的形式 $\psi\;$ 在單電荷所產生的位能阱V的條件下運動，解出氫原子光譜，解出的結果吻合實驗結果。波爾的氫原子模型雖然大部分符合海森堡矩陣力學的結果，然而卻無法解釋海森堡的不可交換率的觀念。1926年，薛丁格發表了四篇論文有關於他得到的方程式，以及氫原子光譜分析的結果。

薛丁格方程式解釋了 $\psi\;$ 的行為，並沒有解釋 $\psi\;$ 的意義。薛丁格曾嘗試解釋 $\psi\;$ 代表電荷的密度，但卻失敗了。1926年，就在薛丁格第四篇的論文發表之後幾天，馬克斯‧玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了 $\psi\;$ 的物理意義，雖然薛丁格本人一直不承認這種統計的表示方法。

薛定谔方程

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