伽利略变换

跳过字词转换说明

若O´-x´y´z´参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xyz参照系运动，且t=0时两参照系的原点重合，则两参照系之间有如下关系:

$x'=x-vt$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=t$

两参照系描述同一运动的速度是不同的，但加速度是相等的。 一切惯性系都是等价的,我们可以任取最为简洁的参照系进行计算。

推论

推论1

「物体于参照系 A:O'-x'y'z' 的运动速度 v'」 等于「该物体于参照系 B:O-xyz 的速度 v 」与「参照系 A 相对于参照系 B 的速度 v0 」之差。

证明：

设该运动物体沿着x轴方向运动，并且在t=0时正好处于两个参照系的原点（如上述的情况：两参照系此时的原点重合）
则经过了时间t之后，该物体在参照系 A 中的坐标为
   $x'=v't$ ............................................ (1)
   $y'=0$
   $z'=0$
同样地，经过了时间t之后，该物体在参照系 B 中的坐标为
   $x=vt$ ............................................. (2)
   $y=0$
   $z=0$
而此刻参照系 A 相对于参照系 B 的坐标关系有
   $x'=x-v_0t$ ......................................... (3)  ←if this is correct... (see below)
   $y'=y$
   $z'=z$
由(1),(2),(3)式可得
   $v't=vt-v_0t$
即 $v'=v-v_0$ .......................................... (4)

推论2

同一个运动物体相对于两个惯性参照系（匀速相对运动）的加速度相同

证明:

设该运动物体沿着 x 轴方向做匀加速运动，在 t=0 是正好处于两个参照系的原点，
并设此时其相对于参照系 A 的初始速度为 v'，加速度为 a'; 相对于参照系 B 的初始速度为 v, 加速度为 a;
参照系 A 相对于参照系 B 沿着 x 轴方向运动并且速度恒为 v0。
则有
   $x'=(v'+\tfrac{1}{2}a't)t$ ...................................... (5)
   $x=(v+\tfrac{1}{2}at)t$ ........................................ (6)
将 (5), (6) 代入 (3) 得
   $(v'+\tfrac{1}{2}a't)t=(v+\tfrac{1}{2}at)t-v_0t$ 
消去 t 即可得
   $v'+\tfrac{1}{2}a't=(v+\tfrac{1}{2}at)-v_0$
将 (4) 式代入
   $(v-v_0)+\tfrac{1}{2}a't=(v+\tfrac{1}{2}at)-v_0$
   ⇔  $\tfrac{1}{2}a't=\tfrac{1}{2}at$
   ⇔  $a'=a$

参阅

• 经典力学
• 洛伦兹变换
• 狭义相对论