反对称张量

数学和理论物理学中，若一张量的符号（+/−）随着指标子集的互换而变化，则称此向量在指标子集上是反对称的（或相对于指标子集反对称）。指标子集一般必须是全协变或全反变的。

例如，

$$T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$$

当张量对前三个指标反对称时成立。

若张量在交换每对指标时符号都变化，就称此向量是全反对称的。k阶全反对称协变张量场可称作微分k-形式，全反对称反变向量场可称作k-向量场。

反对称张量与对称张量

对指标i、j反对称的张量A与对指标i、j对称的张量B的缩并都是0。

对于包含$U_{ijk\dots }$的一般张量U和一对指标i、j，U可分为对称部分和反对称部分：

$U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$		（对称部分）
$U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$		（反对称部分）

其他指标对也可给出类似定义。正如“部分”暗示的，对给定的一对指标，张量是其对称部分和反对称部分之和，例如

$$U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.$$

符号

反对称可用方括号表示。例如，对任意维的2阶协变张量M，

$$M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),$$

对3阶协变张量T，

$$T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).$$

在任意2维和3维中，都可以写成

$${\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}$$

其中$\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$是广义克罗内克δ函数，我们使用爱因斯坦求和约定对同类指标求和。

更一般地说，无论维数多少，p个指标上的反对称都可表为

$$T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.$$

一般说来每个秩为2的张量都能分解为一对对称张量和一对反对称张量，如

$$T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).$$

对秩大于等于3的张量，这种分解一般并不正确，因为它们具有更复杂的对称性。

例子

全反对称张量包括：

• 平凡地，所有标量与向量（阶为0、1的张量）是全反对称的（也是全对称的）。
• 电磁学中的电磁张量$F_{\mu \nu }$。
• 伪黎曼流形上的黎曼体积形式。

另见

• 反对称矩阵
• 外代数
• 列维-奇维塔符号

• 里奇微积分

• 对称张量
• 对称化

参考文献

• Penrose, Roger. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 978-0-679-77631-4. 
• J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0. 

外部链接

• Antisymmetric Tensor – mathworld.wolfram.com