霍奇对偶

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数学中,霍奇星算子Hodge star operator)或霍奇对偶Hodge dual)由苏格兰数学家威廉·霍奇Hodge)引入的一个重要的线性映射。它定义在有限维定向内积空间外代数上。

维数与代数[编辑]

霍奇星算子在 k-形式空间与 (n -k)-形式空间建立了一个对应。一个 k-形式在这个对于下的像称为这个 k-形式的霍奇对偶k-形式空间的维数是

 {n \choose k},\,

后一个空间的维数是

 {n \choose n - k},\,

又由二项式系数的对称性,这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构;但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向,给出了一个特定的同构,因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k-形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。

第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V。在这种情形,帕斯卡三角形相关行是

1, 3, 3, 1

霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构,一个是 V 自己,另一个是 V 中两个向量的楔积。具体细节参见例子一节。叉积只是三维的特殊性质,但霍奇对偶在所有维数都有效。

扩张[编辑]

由于一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構于那個向量空間上的 k-向量空間的對偶,霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣,霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數(即流形上的微分形式)上,可用來從外導數構造余微分codifferential),以及拉普拉斯-德拉姆算子,它导致了黎曼流形上微分形式的霍奇分解

k-向量的霍奇星号的正式定义[编辑]

一个定向内积向量空间 V 上的霍奇星算子V外代数上一个线性算子,将 k-向量子空间与 (n-k)-向量自空间互换,这里 n = dim V,0 ≤ kn。它具有如下性质,这些性质完全定义了霍奇星算子:给定一个定向正交基 e_1,e_2,\cdots,e_n 我们有

*(e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_n.

星算子的指标记法[编辑]

使用指标记法,霍奇对偶由缩并一个 k-形式与 n-维完全反对称列维-奇维塔张量的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号有一个额外因子 (det g)½,这里 g 是一个内积(如果 g 不是正定的,比如洛伦兹流形的切空间,则取行列式的绝对值)。

从而有

(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=
\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\,\sqrt {|\det g|} \,\epsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}},\,

这里 η 是任意一个反对称 k 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号,所得是反对称的,因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。

例子[编辑]

星算子一个常见例子是在 n = 3,可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中,例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说,对欧几里得空间 R3,容易发现

*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z

*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x

以及

*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y

这里 dx、dy 与 dzR3 上的标准正交微分1-形式。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。

n = 4 时,霍奇对偶作用在第二外幂(6 维)上是自同态。它是一个对合,从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间,在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。

另一个有用的例子是 n = 4 闵可夫斯基时空,具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (t,x,y,z),对1-形式

*\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z
*\,\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y

2-形式

*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}x = - \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}t \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y
*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}y =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}z
*\, \mathrm{d}x \wedge\mathrm{d}z = - \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}y
*\, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z =   \mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}x

k-向量的内积[编辑]

霍奇对偶在 k-向量空间上诱导了一个内积,即在 V外代数上。给定两个 k-向量 \eta\zeta,有

\zeta\wedge *\eta = \langle\zeta, \eta \rangle\;\omega,\,

这里 ω 是正规化的体积形式。可以证明 \langle\cdot,\cdot\rangle 是一个内积,它是半双线性的,并定义了一个范数。反之,如果在  \Lambda^k(V) 上给了一个内积,则这个等式可以做为霍奇对偶的另一种定义[1]

本质上,V 的正交基元素的楔积组成了 V 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上,可以证明体积形式能写做

\omega=\sqrt{|\det g_{ij}|}\;dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n,\,

其中 g_{ij} 是流形的度量

对偶性[编辑]

当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶,不考虑符号的话,所得结果是外代数上一个恒等式。给定 n-维空间 V 上一个 k-向量 \eta \in \Lambda^k (V),我们有

**\eta=(-1)^{k(n-k)}s\;\eta,\,

这里 sV 上内积的符号有关。具体说,s 是内积张量行列式的符号。例如,如果 n = 4 时,若内积的符号是 (+,-,-,-) 或 (-,+,+,+) 则 s = -1。对普通的欧几里得空间,符号总是正的,所以 s = +1。在普通向量空间,这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时,上面的内积理解为对角形式的度量。

流形上的霍奇星号[编辑]

在一个 n-维定向黎曼伪黎曼流形上每一点的切空间上可以重复如上构造,将得到 k-形式霍奇对偶,是一个 n- k 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L2-范数。对 \Lambda^k(M)空间截面 \eta\zeta,其内积可写做

(\eta,\zeta)=\int_M \eta\wedge *\zeta.\,

(截面的集合通常记做 \Omega^k(M)=\Gamma(\Lambda^k(M));里面的元素称为外 k-形式。)

更一般地,在非定向情形,我们可以定义 k-形式的霍奇星号维一个 (n - k)-伪微分形式;即取值于典范线丛的一个微分形式。

余微分[编辑]

霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义余微分 δ。令

\delta = (-1)^{nk + n + 1} *d*\,

这里 d外导数。对黎曼流形 s = +1 。

d:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k+1}(M),\,

\delta:\Omega^k(M)\rightarrow \Omega^{k-1}(M).\,

相比于外导数,余微分不是外代数上的反导子

余微分在是外微分的伴随

 \langle \delta \zeta, \eta\rangle = \langle \zeta, d\eta\rangle .\,

这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 dω = 0,从而

\int_M d(\zeta \wedge *\eta)=0.\,

拉普拉斯–德拉姆算子由

\Delta=\delta d + d\delta

给出,是霍奇理论的核心。它有对称性:

\langle\Delta \zeta,\eta\rangle = \langle\zeta,\Delta \eta\rangle,\,

以及非负:

\langle\Delta\eta,\eta\rangle \ge 0.\,

霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理的一个推论,德拉姆上同调自然同构于调和 k-形式空间,从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构

\star : H^k_\Delta(M)\to H^{n-k}_\Delta(M),\,

通过庞加莱对偶性,这给出了 Hk(M) 与它的对偶空间的一个典范等价。

三维中的导数[编辑]

\ast 算子与外导数 d 的组合推广了三维经典算子 gradcurldiv。具体做法如下:d 将一个 0-形式(函数)变成 1-形式,1-形式变成 2-形式,2-形式变成 3-形式(应用到 3-形式变成零)。

1. 对一个 0-形式(\omega=f(x,y,z)),第一种情形,写成分量与 \operatorname{grad} 算子等价:

d\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.

2. 第二种情形后面跟着 \ast,是 1-形式(\omega=Adx+Bdy+Cdz)上一个算子,其分量是 \operatorname{curl} 算子:

d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz  + \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.

使用霍奇星号给出:

\ast d\omega=\left({\partial C \over \partial y} - {\partial B \over \partial z}\right)dx  - \left({\partial C \over \partial x} - {\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x} - {\partial A \over \partial y}\right)dz.

3. 最后一种情形,前面与后面都有一个 \ast,将一个 1-形式(\omega=Adx+Bdy+Cdz)变成 0-形式(函数);写成分量是 \operatorname{div} 算子:

\ast\omega=Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy
d\ast\omega=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz
\ast d\ast\omega=\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}.

这些表达式的一个好处是恒等式 d^2=0,任何情形都成立,将

\operatorname{curl}(\operatorname{grad}(f))=\operatorname{div}(\operatorname{curl}(\mathbf{F}))=0

统一起来了。特别地,麦克斯韦方程组用外导数与霍奇星号表示时,有一个特别简单和优美的形式:

\mathrm{d}\bold{F}=0,\qquad\mathrm {d} * {\bold{F}}=\bold{J}.

这里 \bold{F} 是四维洛伦兹时空中某个 2-形式,\bold{J} 是电流 3-形式。

注释[编辑]

  1. ^ Darling, R. W. R. Differential forms and connections. Cambridge University Press. 1994. 

参考文献[编辑]

  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).