Lp空间

在数学中，L^p 空间是由p次可积函数组成的空间；对应的 ℓ^p 空间是由 p次可和序列组成的空间。它們有時叫做勒貝格空間，以昂利·勒貝格命名(Dunford & Schwartz 1958，III.3)

，盡管依據 Bourbaki (1987) 它們是 Riesz (1910) 首先介入。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。

L^p空间在工程学领域的有限元分析中有应用。

由来

展示在不同的 p-範數下的單位圓。

在 p=3/2 範數下的單位圓（超橢圓）。

考虑n维实向量空间 Rⁿ。 其中向量的加法由下式给出：

$(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),$

数乘为下式：

$\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).$

向量$x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$的长度通常如下定义：

$\|x\|_1=|x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|$

但这不是定义长度的惟一方法。如果p 是一个实数，p ≥ 1，对任意$x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$可定义：

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}$。

例如 p = 2 ：

$\|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}$

当 p = ∞ 时：

$\|x\|_{\infty} = \max_{i=1}^n |x_i|$

这表明这种方式定义的长度函数仍然满足范数的三条性质：

1. 长度为0的向量只有0向量；
2. 向量的长度函数对数乘线性；
3. 满足三角不等式（这由闵可夫斯基不等式保证）。

可以证明，对任意的p≥1， Rⁿ以及上面的p范数就定义了一个巴拿赫空间。

特例

最重要的例子是 p = 2， 比如 $\ell^2$空间，L²空间是希尔伯特空间，在 傅立叶级数 和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

L^p空间的性质

如果1 ≤ p ≤ ∞，那么闵可夫斯基不等式，可以用赫尔德不等式证明， 建立了 L ^p(S)中的三角形不等式。利用勒贝格积分的收敛定理，可以证明L ^p(S)是完备的，从而是巴拿赫空间。（这里引入勒贝格积分很重要，而不能使用黎曼积分。）

嵌入

假设区域S具有有限测度，以及 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞。 那么由赫尔德不等式有如下限制：

$\|f\|_p \le \mu(S)^{(1/p)-(1/q)} \|f\|_q$

这里的$\mu$是区域$S$上的$\sigma$-有限测度。

从而， 空间L^q 嵌入L^p。

由此可知，对区域S没有任何限制，嵌入

$L^p(S) \subset L^1_{\mathrm{loc}}(S)$

成立，这里右边的空间为S上的局部可积函数。

参见

• 哈代空间
• 赫尔德平均
• 赫尔德空间
• 方均根

注释

• Adams, Robert A. Sobolev Spaces. New York: Academic Press. 1975. ISBN 0-12-044150-0. 

外部链接

• PlanetMath上Proof that L^p spaces are complete的資料。