Lp空间

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在数学中，Lp 空间是由p次可积函数组成的空间；对应的 ℓp 空间是由 p次可和序列组成的空间。它們有時叫做勒貝格空間，以昂利·勒貝格命名(Dunford & Schwartz 1958, III.3)，盡管依據 Bourbaki (1987) 它們是 Riesz (1910) 首先介入。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。

Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。

目录

[编辑] 由来

展示在不同的 p-範數下的單位圓。
在 p=3/2 範數下的單位圓（超橢圓）。

考虑n维实向量空间 Rn。 其中向量的加法由下式给出：

(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),

数乘为下式：

\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).

向量x=(x_1, x_2, \dots, x_n)的长度通常如下定义：

\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}

但这不是定义长度的惟一方法。如果p 是一个实数， p≥1，对任意x=(x_1, x_2, \dots, x_n)可定义：

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}。

这表明这种方式定义的长度函数仍然满足范数的三条性质：

  1. 长度为0的向量只有0向量；
  2. 向量的长度函数对数乘线性；
  3. 满足三角不等式（这由闵可夫斯基不等式保证）。

可以证明，对任意的p≥1， Rn以及上面的p范数就定义了一个巴拿赫空间。

[编辑] 特例

最重要的例子是 p = 2， 比如 \ell^2空间，L2空间是希尔伯特空间，在 傅立叶级数 和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

[编辑] Lp空间的性质

如果1 ≤ p ≤ ∞，那么闵可夫斯基不等式，可以用赫尔德不等式证明， 建立了 L p(S)中的三角形不等式。利用勒贝格积分的收敛定理，可以证明L p(S)是完备的，从而是巴拿赫空间。（这里引入勒贝格积分很重要，而不能使用黎曼积分。）

[编辑] 嵌入

假设区域S具有有限测度，以及 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞。 那么由赫尔德不等式有如下限制：

\|f\|_p \le \mu(S)^{(1/p)-(1/q)} \|f\|_q

从而， 空间Lq 嵌入Lp。

由此可知，对区域S没有任何限制，嵌入

L^p(S) \subset L^1_{\mathrm{loc}}(S)

成立，这里右边的空间为S上的局部可积函数。

[编辑] 参见

[编辑] 注释

  • Adams, Robert A.（1975）．Sobolev Spaces．New York：Academic Press．ISBN 0-12-044150-0． 

[编辑] 外部链接

来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%97%B4”
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