闵可夫斯基不等式

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数学中,闵可夫斯基不等式Minkowski不等式)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设S是一个 度量空间1 \le p\le \infty , f ,g \in L^p(S),那么f + g \in L^p(S),我们有:

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

如果1 < p< \infty等号成立当且仅当\exists k\le 0,f = kg,或者g = kf

闵可夫斯基不等式是L^p(S)中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列向量的特殊形式:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

对所有实数x_1,\cdots , x_n, y_1, \cdots, y_n ,这里nS维数;改成复数同样成立,没有任何难处。

值得指出的是,如果x_1,\cdots , x_n, y_1, \cdots, y_n > 0p < 1,则\le可以变为\ge

积分形式的证明[编辑]

我们考虑\|f+g\|_pp次幂:

\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}\cdot p}=\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx

(用三角形不等式展开|f(x)+g(x)|

\leq\int_{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int_{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx

(用 赫尔德不等式

\leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}+ \left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac{1}{q}}

=\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac{1}{q}}

(利用p=qp-q,因为\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1

\leq\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}*\frac{p}{q}}

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项,除以最后那个表达式的后面那个因子,我们得到:

\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}\left(p-\frac{p}{q}\right)}\leq\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]

因为p-\frac{p}{q}=1,我们最终得出:

\left(\int_{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left[\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}\right]

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况,证明是完全类似的。

参考来源[编辑]

  • 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 Check |issn= value (帮助). 
  • 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 Check |issn= value (帮助). 
  • 匡继昌. 常用不等式. 山东科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7. 
  • (英)哈代(G.H.Hardy),(英)利特尔伍德(J.E.Littlewood),(美)波利亚(G.Polya)著;越民义 译. 《不等式》. 人民邮电出版社. 2008: 第二章 第十七节. ISBN 978-7-115-18802-1.