序列

一个实数的无限序列(蓝色)。这个序列既不是递增的也不是递减的更不是收敛的，但它是有界的。

数学上，序列是被排成一列的对象（或事件）；这样，每个元素不是在其他元素之前，就是在其他元素之后。这里，元素之间的顺序非常重要。

例子和符号

例如，(C,Y,R) 是一个字母的序列：顺序是 C 第一，Y 第二，R 第三。序列可以是有限的（就像前面这个例子），也可以是无限的，就像所有正偶数的序列 (2,4,6,...)。有限序列包含空序列 ( )，它没有元素。序列中的元素也称为项，项的个数（可能是无限的）称为序列的长度。

序列写作 (a₁,a₂, ...)。简单起见，也可以用符号 (a_n)。

一个相对正式的定义：其项属于集合 S 的有限序列是一个从 {1,2,...,n} 到 S 的函数，这里 n≥0。属于 S 的无限序列是从 {1,2,...}（自然数集合）到 S 的函数。

有限序列也称作 n 元组。一个从所有整数到集合的函数有时也称作双无限序列，这里将以负整数索引的序列认为是另一个以正整数索引的序列。

序列的形式和性质

• 一个给定序列的子序列是从给定序列中去除一些元素，而不改变其他元素之间相对位置而得到的。

• 若序列的项属于一个偏序集，则单调递增序列就是其中每个项都大于等于之前的项；若每个项都严格大于之前的项，这个序列就是严格单调递增的。类似可定义单调递减序列。单调序列是单调函数的一个特例。

• 由整数组成的序列称为整数列；由多项式组成的序列称为多项式列。

• 若 S 具有拓扑，那么就可以讨论 S 中的无限序列的收敛。请详见极限。

• 由数组成的序列称为数列；由数列的部分和组成的序列称为级数，例如：

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n-1}{2^{n-1}}.$

参见

• 柯西序列
• 网 (数学)（序列的推广）
• 序列空间
• 数列
• 整数数列在线大全