三角形數

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三角形數

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形數。比如10个点可以组成一个等边三角形,因此10是一个三角形數:

一开始的18个三角形數是13610152128364555667891、105、120、136、153、171……OEISA000217

一个三角数乘以9加上1仍是一个三角数。

三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。

性質[编辑]

  • 第 n 个三角形數的公式是\frac {n (n+1)}{2}
  • 第 n 个三角形數是從 1 开始的 n 个自然数的和
  • 所有大于 3 的三角形數都不是质数
  • 开始的 n 个立方数的和是第n个三角形數的平方(举例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102
  • 所有三角形數的倒数之和是2
  • 任何三角形數乘以8再加1是一个平方数
  • 一部分三角形數(3、10、21、36、55、78……)可以用以下这个公式来表示:n*(2n+1);而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)则可以用n*(2n-1)来表示。
  • 一种检验正整数x是否三角形数的方法,是计算
n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.

如果n整数,那么x就是第n三角形数。如果n不是整数,那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式8T_n + 1 = S_{2n + 1}.

特殊的三角形數[编辑]

  • 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
  • 第11个三角形數(66)、第1111个三角形數(617,716)、第111,111个三角形數(6,172,882,716)、第11,111,111个三角形數(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形數,但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形數不是。

它與其他數的關係[编辑]

外部連結[编辑]