三角形數

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形數。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形數：

一开始的18个三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的数列A000217）

三角形數

• 第n个三角形數的公式是$\frac {n (n+1)}{2}$。
• 第n个三角形數是开始的n个自然数的和。
• 所有大于3的三角形數都不是质数。
• 开始的n个立方数的和是第n个三角形數的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
• 所有三角形數的倒数之和是2。
• 任何三角形數乘以8再加1是一个平方数。
• 一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：$n*(2n+1)$；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用$n*(2n-1)$来表示。
• 一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：

$n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.$

如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式$8T_n + 1 = S_{2n + 1}.$

特殊的三角形數

• 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
• 第11个三角形數（66）、第1111个三角形數（617,716）、第111,111个三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形數不是。

和其他數的關係

• 是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数,在9000000以下的数目是正确的。
• 四面體數是三角形數在立體的推廣。
• 两个相继的三角形數之和是平方数。
• 三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
• 三角形數屬於一種多邊形數。
• 所有偶完美数都是三角形数。
• 任何自然数是最多三个三角形數的和。高斯发现了这个规律。他在1796年7月10日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ