伪黎曼流形

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伪黎曼流形英语pseudo-Riemannian manifold)是光滑流形擁有光滑對稱(0,2) 張量。它在流形每點都非退化。這個張量稱為伪黎曼度量或伪度量張量

黎曼流形與伪黎曼流形的最大分別是伪黎曼流形不一定正定,通常是非退化。因为每個正定形式都是非退化的,黎曼度量是伪黎曼度量的一個特殊例子。固此,可以把黎曼流形歸納為伪黎曼流形。

每一個非退化對稱,雙線性形式有一個固定的度量符号(p,q)。這裡pq記作正特徵值及負特徵值的个数。注意p + q = n是流形的维数。黎曼流形就是以(n,0)作為符号。

伪黎曼流形的符号(p,1)稱為洛伦兹度量。擁有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外,洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有(3,1)符号的洛伦兹流形的模型。

欧几里得空间\mathbf R^n可以被认为是黎曼流形的模型一样,,有平坦闵可夫斯基度量闵可夫斯基空间(Minkowski space) \mathbf R^{p,1}是洛伦兹流形的模型空间。特征数为(p,q)的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的\mathbf R^{p,q}:

g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面,黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如,并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量;因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。