微分形式

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微分形式多变量微积分微分拓扑张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式,及其以楔积外微分结构形成外代数的想法,都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

简介[编辑]

我们从Rn中的开集的情形开始。一个0-形式(0-form)定义为一个光滑函数f. 当我们在Rnm-维子空间S上对函数f积分时,我们将积分写作:

\int_S f\,dx_1 \ldots dx_m.

dx1, ..., dxn当作形式化的对象,而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本'1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积,这种乘法只需满足反交换的条件: 对所有i,j

dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i

注意这意味着

dx_i \wedge dx_i = 0.

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式,类似的我们定义乘积

dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k

的集合为基本'3-形式,这里假定n至少为3。现在定义一个单项式'k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式,定义k-形式为一些单项式k-形式的和。

楔积可以推广到这些和上:

(f\,dx_I + g\,dx_J)\wedge(p\,dx_K + q\,dx_L) =
f \cdot p\,dx_I \wedge dx_K +
f \cdot q\,dx_I \wedge dx_L +
g \cdot p\,dx_J \wedge dx_K +
g \cdot q\,dx_J \wedge dx_L,

等等,这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说,和的积就是所有可能的积的和。

现在,我们来定义光滑流形上的k-形式。为此,我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式;一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式,他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义,见流形

楔积的属性[编辑]

f, g,w为任意微分形式,则

w \wedge (f + g) = w \wedge f + w \wedge g.

fk-形式,gl-形式:

f \wedge g = (-1)^{kl} g \wedge f.

抽象(简明)定义及讨论[编辑]

微分几何中,k微分k-形式是一个流形余切丛k阶外幂(exterior power)的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间k阶笛卡儿幂(cartesian power)到R的多线性映射。

例如,光滑函数(0-形式)的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中,他们可以定义为向量的的实值函数,并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分[编辑]

k阶微分形式可以在k(chain)上积分。若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ...对应于线积分,曲面积分,体积分等等。

\omega=\sum a_{i_1,\cdots,i_k}({\mathbf x})\,dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}

为一微分形式,设S为一个我们想在其上积分的集合,其中S有参数化形式

S({\mathbf u})=(x_1({\mathbf u}),\cdots,x_n({\mathbf u}))

u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为

\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\cdots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}\,d{\mathbf u}

其中

\frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}

雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。

微分形式的操作[编辑]

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且,其上有三类操作:楔积, 外微分(用d表示),和李导数d2 = 0,细节请见德拉姆上同调

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出,它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

参考[编辑]

  • Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235. 
  • Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.