1-形式

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线性代数中,向量空间1-形式one-form)就是这个空间上的线性泛函。这种向量空间语境中說的1-形式,通常区别於高阶的多重线性泛函中的1-形式。细节参见线性泛函

微分几何中,可微流形上一个1-形式余切丛的一个光滑截面。具体说来,流形 M 上一个 1-形式是 M切丛全空间R 的一个光滑映射,限制在每个纤维上是切空间上的线性泛函。用符号表示,

\alpha : TM \rightarrow {\mathbf R},\quad \alpha_x = \alpha|_{T_xM}: T_xM\rightarrow {\mathbf R},\,

这里 αx 是线性的。

1-形式经常局部地描述,特别是在一个局部坐标中。在一个局部坐标系中,1-形式是坐标的微分的线性组合:

\alpha_x = f_1(x)dx^1+f_2(x)dx^2+\dots+f_n(x)dx^n.\,

这里 fi 是光滑函数。注意这里使用上指标,不要与幂混淆。从这种观点来看,一个 1-形式从一个坐标系变到另一个时有共变变换法则。从而一个 1-形式是秩 1 共变张量场

特例[编辑]

 U \subseteq \mathbb{R} (譬如一个区间  (a,b) ),考虑可微函数  f: U \to \mathbb{R} ,具有导数 f'f微分 df,在一点  x_0\in U ,定义为变量 dx 的某个线性映射。具体地,df(x_0, dx): dx \mapsto f'(x_0) dx 。(从而符号 dx 的含义揭示出来了:它不过是 df 的一个参数,或独立变量。)故映射 x \mapsto df(x,dx) 将每个点 x 送到一个线性泛函 df(x,dx)。这是微分(1-)形式最简单的例子。

德拉姆复形表示,从 0-形式(数量函数)到 1-形式有一个映射,即 f\mapsto df

一个 1-形式称为 1-形式如果它是可微的且它的外导数在任何地方等于 0。

另见[编辑]

参考文献[编辑]