闭形式和恰当形式

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数学,特别是向量分析微分拓扑中,一个闭形式 α微分算子 d,即 = 0 的微分形式;而恰当形式(恰当微分形式) α 是微分算子 d,即存在某个微分形式 β 使得 α = β 称为关于 α 的一个“本原”。

因为 d2 = 0,所以恰当形式一定是闭形式,但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的,可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义,因为 d 将阶数提高 1,不过可以规定恰当 0-形式就是零函数

当两个闭形式的差是一个恰当形式时,称它们为相互上同调的。这便是说,如果 ζ 与 η 是闭形式,且存在某个 β 使得

\zeta - \eta = d\beta\ ,

则我们说 ζ 与 η 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素;对这样的类作一般性研究称为上同调理论

R2R3 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上,0-形式就是函数,2-形式是函数乘以基本面积元 dxdy,故只有 1-形式

 \alpha = f(x,y)dx + g(x,y)dy\ ,

具有真正的意义,其外导数 d

 d \alpha = (g_x - f_y)dx\wedge dy\ ,

这里下标表示偏导数。从而 α“闭”的条件是

 f_y=g_x\ .

h(x,y) 是一个函数时则

 dh = h_x dx + h_y dy\ .

“恰当形式是闭形式”便是关于 xy 二阶导数的对称性的一个推论,这可以直接推广到高维情形。

R3 上,恰当 1-形式相当于有势场(保守场),闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理[编辑]

庞加莱引理断言:如果 XRn可缩开子集,对任何整数 p>0,任何定义在 X 上的光滑闭 p-形式 α 是恰当的(这只在 pn 有内容)。

可缩意味着存在同伦映射 Ft: X×[0,1] → XX 形变为一点。从而任何 X 中的闭链 c 都是某个“锥”的边缘;我们可以取锥为 c 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地,我们将 X 与柱 X×[0,1] 联系起来,分别通过映射 j1(x) = (x, 1) 与 j0(x) = (x, 0) 与顶端和底面等价。在微分形式上,诱导拉回映射 j1* 与 j0* 由上链同伦联系:

K d + d K = j_1^* - j_0 ^*\ .

令 Ωp(X) 表示 X 上的 p-形式,映射 K: Ωp + 1( X×[0,1] ) → Ωp(X) 是柱映射的对偶,定义为:

a(x,t) d x^{p+1} \mapsto 0, \; a(x,t) dt dx^p  \mapsto (\int_0 ^1 a(x,t) dt) dx^p,

这里 dxp 是一个不含 dt 的单项 p-形式。所以如果 FX 到一点 Q 的同伦形变,那么

F \circ j_1 = id, \; F \circ j_0 = Q\ .

在形式上:

j_1 ^* \circ F^* = id, \; j_0^* \circ F^* = 0\ .

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的,大范围的结果就是德拉姆定理

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如,在 t ∈ [0,1] 参数化圆周 S1 上,闭 1-形式 dt 不是恰当的(注意t 不能定义为整个 S1 上的函数,但 dt 是一个良定的闭形式)。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0,但 dt 在圆周上积分是 2π

参考文献[编辑]

  • Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.). 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
  • 陈维桓, 微分流形初步. 2, 高等教育出版社. 2001年, ISBN 7-04-009921-7