倒晶格

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在結晶學中，布拉菲晶格中的倒晶格，其繞射向量K 與 晶格點位置向量R關係如下。

$e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1$

布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格則就會變回原始晶格。

對三維晶格而言，我們定義基本晶胞 $(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}})$，可以用下列公式決定倒晶格的晶軸向量$(\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}})$

$\mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}$

$\mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{2}} \cdot (\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}})}$

$\mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{3}} \cdot (\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}})}$

$\mathbf{b_{1}}$的方向與$\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}$相同，而量則是$\mathbf{b_{1}}$的倒數乘以$2 \pi$。

若利用行向量來表示倒晶格的基本晶胞，上述的公式可以用逆矩陣重新描述

$\left[\mathbf{b_{1}}\mathbf{b_{2}}\mathbf{b_{3}}\right]^T = 2\pi\left[\mathbf{a_{1}}\mathbf{a_{2}}\mathbf{a_{3}}\right]^{-1}$

上面所描述的定義是"物理"定義，因為週期性的結構，所以係數加上$2 \pi$。而在晶體學中的定義，倒晶格是依照這個公式$e^{2 \pi i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1$，使倒晶格向量改變成

$\mathbf{b_{1}}=\frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}$

其他二晶軸向量依此類推。此定義的優點是不需要考慮$2 \pi$這個係數，這可以簡化其在數學上的運用。

每一個在倒晶格中的點(hkl)代表的是在實空間晶格的(hkl)面，而倒晶格中的方向則是實空間方向的垂直向量，而倒晶格向量的長度則是真實空間中平面間距離的倒數。

在動態繞射理論中，倒晶格是一種可以用來分析週期性結構的重要方法。在核繞射與X射線繞射中，因為符合布拉格定律，此倒晶格向量是入射向量與繞射向量的差，繞射圖形上可以決定倒晶格的向量。運用這個程序，可以得知一個晶體的原子排列順序。

布里淵區 是倒晶格的基本單位晶胞。

晶體的倒晶格

以下是立方晶體的倒晶格

簡單立方晶體

簡單立方晶體的原始平移向量可以寫成下列三項

$\mathbf{a_1}=a\hat{x}$

$\mathbf{a_2}=a\hat{y}$

$\mathbf{a_3}=a\hat{z}$

體積為

$\mathbf{a_1}\cdot\mathbf{a_2}\times\mathbf{a_3}=a^3$

可推得倒晶格之原始平移向量

$\mathbf{b_1} = {2\pi \over a} \hat{x}$

$\mathbf{b_2} = {2\pi \over a} \hat{y}$

$\mathbf{b_3} = {2\pi \over a} \hat{z}$

所以簡單立方晶體的倒晶格原始平移向量同樣為簡單立方晶體，但是晶格常數為 $1\over a$。

面心立方晶體(FCC)

面心立方晶體的原始平移向量可以寫成下列三項

$\mathbf{a_1}={a\over 2}\left(\hat{y}+\hat{z} \right)$

$\mathbf{a_2}={a\over 2}\left(\hat{z}+\hat{x} \right)$

$\mathbf{a_3}={a\over 2}\left(\hat{x}+\hat{y} \right)$

體積為

$\mathbf{a_1}\cdot\mathbf{a_2}\times\mathbf{a_3}={a^3\over 4}$

可推得倒晶格之原始平移向量

$\mathbf{b_1} = {2\pi \over a} \left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)$

$\mathbf{b_2} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)$

$\mathbf{b_3} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)$

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

體心立方晶格(BCC)

體心立方晶體的原始平移向量可以寫成下列三項

$\mathbf{a_1}={a\over 2}\left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)$

$\mathbf{a_2}={a\over 2}\left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)$

$\mathbf{a_3}={a\over 2}\left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)$

體積為

$\mathbf{a_1}\cdot\mathbf{a_2}\times\mathbf{a_3}={a^3\over 2}$

可推得倒晶格之原始平移向量

$\mathbf{b_1} = {2\pi \over a} \left(\hat{y}+\hat{z} \right)$

$\mathbf{b_2} = {2\pi \over a} \left(\hat{z}+\hat{x} \right)$

$\mathbf{b_3} = {2\pi \over a} \left(\hat{x}+\hat{y} \right)$

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體，晶格常數不同。

在布拉菲晶格中,三軸互為九十度的$(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}})$ (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸$(\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}})$與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

外部連結

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