倒晶格

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倒晶格,又称倒格子,是物理学中描述空间波函数傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性,倒晶格描述的是动量空间,亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性,布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格,而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格(正晶格)。

数学描述[编辑]

一维晶格[编辑]

对于以\boldsymbol{a}为基矢的一维晶格,其倒格子的基矢为

\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}

二维晶格[编辑]

对于以(\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}) 为基矢的二维晶格,定义其二维平面法线向量为\boldsymbol{n},其倒格子的基矢为

\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{n})}

\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a_{1}})}

三维晶格[编辑]

對三維晶格而言,我們定義素晶胞的基矢  (\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}}) ,可以用下列公式決定倒晶格的晶胞基矢 (\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}})

\boldsymbol{b_{1}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}}}{\boldsymbol{a_{1}} \cdot (\boldsymbol{a_{2}} \times \boldsymbol{a_{3}})}

\boldsymbol{b_{2}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}}}{\boldsymbol{a_{2}} \cdot (\boldsymbol{a_{3}} \times \boldsymbol{a_{1}})}

\boldsymbol{b_{3}}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}}}{\boldsymbol{a_{3}} \cdot (\boldsymbol{a_{1}} \times \boldsymbol{a_{2}})}

倒晶格与正晶格的关系[编辑]

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

\boldsymbol{a_{i}} \cdot \boldsymbol{b_{j}}=2 \pi \delta_{ij}=
\begin{cases} 
2 \pi,  & i\ =\ j \\
0, & i\ \ne\ j
\end{cases}

定义三维中的倒晶格向量G

\mathbf{G}=h \boldsymbol{b_{1}} + k \boldsymbol{b_{2}} + l \boldsymbol{b_{3}}

其中hkl为密勒指数,向量G模长与正晶格的晶面间距有以下关系

\mathbf{|G_{hkl}|}=\frac{2 \pi}{d_{hkl}}

向量G和正晶格向量R有以下关系

\mathbf{R}=c_{1} \boldsymbol{a_{1}} + c_{2} \boldsymbol{a_{2}} + c_{3} \boldsymbol{a_{3}}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{G \cdot R}}=1

三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

\Omega_{G}=\frac{(2 \pi)^3}{\Omega}

倒晶格的物理意义[编辑]

在此以一维晶格为例。在一个以\boldsymbol{a}为基矢的一维晶格中,其波函数应该为布洛赫波

\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})

定义其倒晶格向量

\boldsymbol{G}=n\boldsymbol{b},\ n=0, 1, 2, \cdots
\boldsymbol{b}=2 \pi \frac{\boldsymbol{a}}{a^2}
\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}=2 \pi n

以及一个函数


\begin{alignat}{2}
u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x}}) & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}}   u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\
u_{\boldsymbol{k+G}}({\boldsymbol{x+a}}) &=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}}  \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{a}}  u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\
& =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}}   u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a}) \\
\end{alignat}

由于u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})是一个布洛赫波包,满足


u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x})

所以


u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x+a})=u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质


\begin{align}
\psi_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) & = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\
& = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{x}} u_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{x}) \\
& = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k+G})\cdot\boldsymbol{x}}u_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x}) \\
& = \psi_{\boldsymbol{k+G}} (\boldsymbol{x})
\end{align}

可见,倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间(k空间)内的周期性。其向量单位,即倒晶格的基矢\boldsymbol{b_{i}}是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位,即倒晶格的晶胞,称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关,在能带理论中也用来解释能带的周期性。

倒晶格与晶体衍射[编辑]

晶体衍射满足布拉格定律


\begin{alignat}{2}
2 d\sin\theta = n\lambda \\
2 \times \frac{2 \pi}{\lambda}\sin\theta=\frac{2 \pi}{d_{n}} \\
\end{alignat}

定义入射波波矢为\boldsymbol{k},则上述公式可变换为


\begin{array}{lcl}
|\boldsymbol{k}|= \cfrac{2 \pi}{\lambda} \\
\mathbf{|G_{hkl}|}=\cfrac{2 \pi}{d_{hkl}} \\
2 |\boldsymbol{k}|  \sin \theta = |\mathbf{G}| \\
\end{array}

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格,而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式,定义入射波波矢为\boldsymbol{k_i},反射波波矢为\boldsymbol{k_o},可以得到


\boldsymbol{\Delta k} = \boldsymbol{k_o} - \boldsymbol{k_i} = \mathbf{G}

这个形式也和劳厄方程式相符。

常见布拉菲晶格的倒晶格[编辑]

簡單立方晶體[编辑]

簡單立方晶體的素格子基矢可以寫成

\boldsymbol{a_1}=a\hat{x}
\boldsymbol{a_2}=a\hat{y}
\boldsymbol{a_3}=a\hat{z}

體積為

\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}=a^3

可推得倒晶格的素格子基矢

\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \hat{x}
\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \hat{y}
\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \hat{z}

所以簡單立方晶體的倒晶格同樣為簡單立方晶體,但是晶格常數為 2 \pi\over a

面心立方晶體(FCC)[编辑]

面心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(\hat{y}+\hat{z} \right)
\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(\hat{z}+\hat{x} \right)
\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(\hat{x}+\hat{y} \right)

體積為

\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 4}

可推得倒晶格之素格子基矢

\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)

面心立方晶體的倒晶格為體心立方晶體。

體心立方晶格(BCC)[编辑]

體心立方晶體的素格子基矢可以寫成下列三項

\boldsymbol{a_1}={a\over 2}\left(-\hat{x} +\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{a_2}={a\over 2}\left(+\hat{x} -\hat{y} +\hat{z}\right)
\boldsymbol{a_3}={a\over 2}\left(+\hat{x} +\hat{y} -\hat{z}\right)

體積為

\boldsymbol{a_1}\cdot\boldsymbol{a_2}\times\boldsymbol{a_3}={a^3\over 2}

可推得倒晶格之素格子基矢

\boldsymbol{b_1} = {2\pi \over a} \left(\hat{y}+\hat{z} \right)
\boldsymbol{b_2} = {2\pi \over a} \left(\hat{z}+\hat{x} \right)
\boldsymbol{b_3} = {2\pi \over a} \left(\hat{x}+\hat{y} \right)

可得知體心立方晶體之倒晶格為面心立方晶體。

布拉菲晶格中,三軸互為九十度的 (\boldsymbol{a_{1}}, \boldsymbol{a_{2}}, \boldsymbol{a_{3}}) (立方, 正方, 斜方)的晶體結構,是很容易被證明其倒晶格空間之三軸 (\boldsymbol{b_{1}}, \boldsymbol{b_{2}}, \boldsymbol{b_{3}}) 與其真實晶格之三軸有垂直的關係.

外部連結[编辑]