张量代数

在数学中，一个向量空间 V 的张量代数（tensor algebra），记作 T(V) 或 T^·(V)，是 V 上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是 V 上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含 V 的“最一般的代数”（见下）。

张量代数也具有余代数结构。

注：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。

构造

设 V 是域 K 上一个向量空间。对任何非负整数 k，我们定以 V 的 k 次张量积 为 V 与自己的 k 次张量积：

$T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V.$

这便是讲，T^kV 由 V 上所有秩 k 张量组成。习惯上 T⁰V 是基域 K（作为自己的一维向量空间）。

令 T(V) 为所有 T^kV（k = 0,1,2,…）的直和：

$T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots.$

T(V) 中的乘法由典范同构确定：

$T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V$

由张量积给出，然后线性扩张到所有 T(V)。此乘法表明张量代数 T(V) 自然是一个分次代数，T^kV 作为 k 次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的模 M 上。如果 R 是一个非交换环，我们仍然可以对任意 R-R 双模执行这样的构造。（对通常的 R-模不行，因为没有迭代张量积。）

伴随与泛性质

张量代数 T(V) 也成为向量空间 V 上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子 T 左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个 K-代数送到它的底向量空间。

准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含 V 的最一般的代数：

任何从 V 到 K 上的一个代数 A 的线性变换 f : V → A可以惟一地扩张为从 T(V) 到 A 的一个代数同态，如下交换图表所示：

这里 i 是 V 到T(V) 的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数 T(V') 为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲，T 是从 K-Vect，K 上向量空间范畴，到 K-Alg，K-代数范畴，的一个函子。T 的函子性意味着任何从 V 到 W 的线性映射惟一地扩张为从 T(V) 到 T(W) 的代数同态。

非交换多项式

如果 V 为有限维 n，张量代数的另一个看法是“ K 上 n 个非交换变量的多项式代数”。如果我们取 V 的基向量，它们成为 T(V) 中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及 K-线性）。

注意 V 上的多项式代数不是 $T(V)$，而是 $T(V^*)$：V 上一个（齐次）线性函数是 $V^*$ 中的一个元素。

商

因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后再生成元上施以一定的关系，即构造 T(V) 一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。

余代数结构

张量代数上的余代数结构如下。余积 Δ 定义为

$\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_m ) := \sum_{i=0}^{m} (v_1 \otimes \dots \otimes v_i) \otimes (v_{i+1} \otimes \dots \otimes v_m)$

线性扩张到整个 TV。余单位由 ε(v) = v 的 0-次分量。注意到 Δ : TV → TV ⊗ TV 保持分次：

$T^mV \to \bigoplus_{i+j=m} T^iV \otimes T^jV$

而 ε 也与分次相容。

张量代数在这个余积下不是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数：

$\Delta(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}_{p,m-p}} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right)$

这里求和取遍所有 (p,m-p)-牌序。最后，对极映射为：

$S(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = (-1)^mx_m\otimes\dots\otimes x_1$

线性扩张到整个 TV，这样张量代数成为一个霍普夫代数。

参见

• 对称代数（Symmetric algebra）
• 幺半范畴
• Stanisław Lem's Love and Tensor Algebra

参考文献

• 陈维桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月. 
• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998