张量代数

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数学中,一个向量空间V张量代数tensor algebra),记作T(V)或T·(V),是V上的(任意阶)张量代数,其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子,在这种意义下它是V上的自由代数;在相应的泛性质的意义下,它是包含V的“最一般的代数”(见下)。

张量代数也具有余代数结构。

:本文中所有代数都假设是有单位的结合

构造[编辑]

VK上一个向量空间。对任何非负整数k,我们定以Vk次张量积V与自己的k张量积

T^kV = V^{\otimes k} = V\otimes V \otimes \cdots \otimes V

这便是讲,TkVV上所有k张量组成。习惯上T0V是基域K(作为自己的一维向量空间)。

T(V)为所有TkVk = 0,1,2,…)的直和

T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots

T(V)中的乘法由典范同构确定:

T^kV \otimes T^\ell V \to T^{k + \ell}V

由张量积给出,然后线性扩张到所有T(V)。此乘法表明张量代数T(V)自然是一个分次代数TkV作为k次子空间。

此构造可径直推广到任意交换环上的M上。如果R是一个非交换环,我们仍然可以对任意R-R 双模执行这样的构造。(对通常的R-模不行,因为没有迭代张量积。)

伴随与泛性质[编辑]

张量代数T(V)也成为向量空间V上的自由代数,并具有函子性。像其它自由构造一样,函子T 左伴随于某个遗忘函子,该函子将每个K-代数送到它的底向量空间。

准确地说,张量代数满足如下的泛性质,正式地表明它是包含V的最一般的代数:

任何从VK上的一个代数A线性变换f : VA可以惟一地扩张为从T(V)到A的一个代数同态,如下交换图表所示:
张量代数的泛性质

这里iVT(V)的典范包含(伴随的单位)。事实上可以定义张量代数T(V')为满足这个性质惟一的代数(确切地说,在惟一的一个同构意义下),但仍然要证明满足这个性质的对象存在。

如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲,T是从K-VectK向量空间范畴,到K-AlgK-代数范畴,的一个函子T的函子性意味着任何从VW的线性映射惟一地扩张为从T(V)到T(W)的代数同态。

非交换多项式[编辑]

如果V为有限维n,张量代数的另一个看法是“ Kn个非交换变量的多项式代数”。如果我们取V的基向量,它们成为T(V)中的非交换变量(或不定元),彼此间没有任何约束(除了结合律分配律以及K-线性)。

注意V上的多项式代数不是T(V),而是T(V^*)V上一个(齐次)线性函数是V^*中的一个元素。

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因为张量代数的一般性,许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造,然后在生成元上施以一定的关系,即构造T(V)一定的商代数。这样的例子譬如外代数对称代数克利福德代数以及泛包络代数

余代数结构[编辑]

张量代数上的余代数结构如下。余积Δ定义为

\Delta(v_1 \otimes \dots \otimes v_m ) := \sum_{i=0}^{m}
(v_1 \otimes \dots \otimes v_i) \otimes (v_{i+1} \otimes \dots \otimes v_m)

线性扩张到整个TV。余单位由ε(v) = v的0-次分量。注意到Δ : TVTVTV保持分次:

T^mV \to \bigoplus_{i+j=m} T^iV \otimes T^jV

而ε也与分次相容。

张量代数在这个余积下双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数:

\Delta(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = \sum_{p=0}^m \sum_{\sigma\in\mathrm{Sh}_{p,m-p}} \left(v_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(p)}\right)\otimes\left(v_{\sigma(p+1)}\otimes\dots\otimes v_{\sigma(m)}\right)

这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后,对极映射为:

S(x_1\otimes\dots\otimes x_m) = (-1)^mx_m\otimes\dots\otimes x_1

线性扩张到整个TV,这样张量代数成为一个霍普夫代数

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • 陈维桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月. 
  • Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998