指标的上升和下降

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数学数学物理中,给定流形 M 上一个张量,若在 M 已有一个非退化形式(比如黎曼度量闵可夫斯基度量),我们可将指标上升或下降:将一个 (k, l) 张量变成一个 (k + 1, l − 1) 张量(上升)或一个 (k − 1, l + 1) 张量(下降)。 这里记号 (k, l) 用于表示张量的秩 k + l,有 k 个上指标和 l 个下指标。

可以这样做:将张量乘以共变或反变度量张量,然后做缩并。下文在对重复指标 j 求和时使用爱因斯坦记号

乘以反变度量张量(然后缩并)上升指标:

g^{ij}A_j=A^i,

而乘以共变度量张量(然后缩并)下降指标:

g_{ij}A^j=A_i,

对同一个指标先上升然后下降(或顺序相反)得到原来的张量,这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆:

g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Tr g = N.

这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异,但相反的过程需要非奇异条件。

广义相对论中的例子[编辑]

闵可夫斯基空间具有度量张量

g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

共变电磁张量由下式给出

F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
注意:一些教材,比如 Griffiths[1],可能有一个因子 -1。这是因为他们使用了度量张量与此处差一个符号,参见度量符号。老教材比如 Jackson 2ed 没有因子 c;他们使用高斯单位,这里使用国际单位

为了得到共变张量 F_{\mu\nu}\,,我们用

F_{\mu\nu} = g_{\mu\kappa} g_{\nu\lambda} F^{\kappa\lambda}\,

注意因为 g_{\mu\nu}\, 是对角的,上式中许多项其实没有:

F_{\mu\nu} = g_{\mu\mu} g_{\nu\nu} F^{\mu\nu}\,

对指标 1、2、3 使用拉丁字母:

F_{ij} = g_{ii} g_{jj} F^{ij}=F^{ij}\,

因为度量张量中的因子都是 -1。

F_{ii} = (g_{ii})^2 F^{ii}=F^{ii}\,
F_{0i} = g_{00} g_{ii} F^{0i}=-F^{0i}\,

类似

F_{i0}=-F^{i0}\,

将它们放在一起,我们得到:

F_{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}

参考文献[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J.. Introduction to Elementary Particles. Wiley, John & Sons, Inc. 1987. ISBN 0-471-60386-4. 

相关条目[编辑]