動量算符

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

量子力學裏,動量算符英语momentum operator)是一種算符,可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子,作用於波函數 \psi(x)\,\! 的動量算符可以寫為

\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!

其中,\hat{p}\,\! 是動量算符,\hbar\,\!約化普朗克常數i\,\!虛數單位x\,\! 是位置。

給予一個粒子的波函數 \psi(x)\,\! ,這粒子的動量期望值

\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\hat{p}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\ dx\,\!

其中,p\,\! 是動量。

導引 1[编辑]

對於一個非相對論性的自由粒子,位勢 V(x)=0\,\!不含時薛丁格方程式表達為

 - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \ \psi(x)=E \psi(x)\,\!

其中,\hbar\,\!約化普朗克常數m\,\! 是粒子的質量\psi(x)\,\! 是粒子的波函數x\,\! 是粒子的位置,E\,\! 是粒子的能量

這薛丁格方程式的解答 \psi_k(x)\,\! 是一個平面波

\psi_k(x)= e^{ikx}\,\!

其中,k\,\!波數k^2=2mE/\hbar^2\,\!

根據德布羅意假說,自由粒子所表現的物質波,其波數與自由粒子動量的關係是

p=\hbar k\,\!

自由粒子具有明確的動量 p\,\! ,給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 \hat{p}\,\! 。假若,對於這系綜內,每一個自由粒子系統的動量所作的測量,都得到同樣的測量值 p\,\! ,那麼,不確定性 \sigma_{p}=0\,\! ,這自由粒子的量子態是確定態,是 \hat{p}\,\!本徵態,在位置空間(position space)裏,本徵函數\psi_k\,\!本徵值p\,\!

\hat{p}\psi_k(x)=p\psi_k(x)\,\!

換句話說,在位置空間裏,動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 \psi_k(x)\,\! [1]

為了要達到此目標,勢必要令

\hat{p}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\psi_k(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi_k(x)\,\!

所以,可以認定動量算符的形式為

\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!

導引 2[编辑]

經典力學裏,動量是質量乘以速度:

p=mv=m\frac{dx}{dt}\,\!

在量子力學裏,由於粒子的位置不是明確的,而是機率性的。所以,猜想這句話是以期望值的方式來實現[2]

\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\!

那麼,用積分方程式來表達,

\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\ dx\,\!

其中,\Psi(x,\,t)\,\!波函數

取微分於積分號下,

\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi 
+\Psi^*\frac{\partial x}{\partial t}\Psi+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!

由於 x\,\! 只是一個位置的統計參數,不跟時間有關,

\langle p\rangle=m \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi 
+\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t} \right) dx\,\!(1)

含時薛丁格方程式

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi\,\!

其中, V\,\! 是位勢。

共軛複數

i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} - V\Psi^*\,\!

將上述兩個方程式代入方程式 (1),可以得到

\begin{align}\langle p\rangle & = \frac{m}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - V\Psi^*x\Psi
 - \frac{\hbar^2}{2m}\Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\Psi^*xV\Psi \right) dx \\
 & =\frac{\hbar}{i2} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - \Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \right)  dx \\
\end{align}\,\!

使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数\Psi\,\!趋于零的特性,有

\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!(2)
\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^* x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\!(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差(使用分部積分法,并利用当x趋于无穷大时波函数\Psi\,\!趋于零的特性)

(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left( - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\  \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx\,\!

所以,

\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\!

對於任意波函數 \Psi\,\! ,這方程式都成立。因此,可以認定動量算符 \hat{p}\,\!\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\!

厄米算符[编辑]

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量 O\,\! 的期望值是實值的:

\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!

對於任意量子態 |\psi\rangle\,\! ,這關係都成立:

\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!

根據伴隨算符的定義,假設 \hat{O}^{\dagger}\,\!\hat{O}\,\! 的伴隨算符,則 \langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\! 。因此,

\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!

這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符 \hat{O}\,\! ,都是厄米算符。

動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態 |\psi\rangle\,\! 的波函數為 \psi(x)\,\!

\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{- i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^*\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle
\,\!

對於任意量子態 |\psi\rangle\,\!\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\! 。所以,動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數[编辑]

假設,動量算符 \hat{p}\,\!本徵值p\,\!本徵函數f_p(x)\,\!

\hat{p}f_p(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial f_p(x)}{\partial x}=p f_p(x)\,\!

這方程式的一般解為,

f_p(x)=f_0 e^{ipx/\hbar}\,\!

其中,f_0\,\! 是常數。

假設 f_p(x)\,\! 的定義域是一個有限空間,從 x= - L\,\!x=L\,\! ,那麼,可以將 f_p(x)\,\! 歸一化

\int_{ - L}^{L}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - L}^{L}\ dx=|f_0|^2 2L=1\,\!

f_0\,\! 的值是 1/\sqrt{2L}\,\! 。動量算符的本徵函數歸一化為 f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}} e^{ipx/\hbar}\,\!

假設 f_p(x)\,\! 的定義域是無窮大空間,則 f_p(x)\,\! 不是一個平方可積函數

\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_p^*(x)f_p(x)\ dx=|f_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ dx=\infty\,\!

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內,不能直接地積分 |f_p(x)|^2\,\! 於無窮大空間,來使 f_p(x)\,\! 歸一化。

換另一種方法,設定 f_0=1/ \sqrt{2\pi\hbar}\,\! 。那麼,

\int_{ - \infty}^{\infty}\ f_{p1}^*(x)f_{p2}(x)\ dx=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{ - \infty}^{\infty}e^{ - i(p1-p2)x/\hbar}\ dx=\delta(p1-p2)\,\!

其中,\delta(p1-p2)\,\!狄拉克δ函數

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質,動量算符的本徵函數是完備的。也就是說,任意波函數 \psi(x)\,\! 都可以表達為本徵函數的線性組合:

\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) f_p(x)\ dp=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}c(p) e^{ipx/\hbar}\ dp\,\!

其中,係數 c(p)\,\!

c(p)=\int_{ - \infty}^{\infty}f_p^*(x)\psi(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x) e^{ - ipx/\hbar}\ dx\,\!

正則對易關係[编辑]

位置算符與動量算符的交換算符,當作用於一個波函數時,有一個簡單的結果:

[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi\,\!

所以,[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar\,\! 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量\hat{x}\,\!\hat{p}\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,\hat{x}\,\! 的本徵態與 \hat{p}\,\! 的本徵態不同。

根據不確定性原理

\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!

由於 x\,\!p\,\! 是兩個不相容可觀察量,\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2\,\! 。所以,x\,\! 的不確定性與 p\,\! 的不確定性的乘積 \Delta x\ \Delta p \,\! ,必定大於或等於 \hbar/2\,\!

參考文獻[编辑]

  1. ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.. 1978:  pp. 443-444, ISBN 0-393-09106-0 (英文) 
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall. 2004:  pp. 15-18, 97-116, ISBN 0-13-111892-7