狄拉克δ函数

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把一条直线上面画一个箭头作为狄拉克δ函数的示意图。箭头的高度通常是用来指定乘法常数的值,即该函数下方的面积。其它惯例则是把面积写在箭头的旁边。
狄拉克δ函数为零为中心的正态分布\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}序列 随着a \rightarrow 0的(分布意义上的)极限。

在数学中,狄拉克δ函数Dirac Delta function)是在实直线上定义的,除了零以外的點都等於零,而其在整個定義域上的積分等於1 的广义函数分布[1][2][3]有时认为δ函数是原点处的一个无限高、无限细,总面积为1的尖峰,物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。[4]它是由理论物理学家保罗·狄拉克引入的。在信号处理中它往往被称为单位脉冲函数[5]克罗内克δ函数是其离散的模拟,通常定义在有限域且只有0和1两个值。

从纯数学的观点来看,狄拉克δ函数不是严格的函数 ,因为任何在除单个点以外处处为零的扩展实函数的总积分为零。[6]δ函数作为数学对象只有出现在积分内部的时候才有意义。从这个角度看,虽然狄拉克δ函数通常可以像一个函数一样使用,它形式上必须定义为一个分布 ,同时也是一个测度,稱為狄拉克δ分布,或δ分布(但與費米-狄拉克分布是兩回事)。在许多应用中,狄拉克δ函数被视为在原点处具有高大尖峰的函数的序列的一种极限( 弱极限 )。该序列的近似函数即为“近似”或“原生”δ函数。

在實際應用中,δ函數或δ分布總是伴隨着積分一起出現。δ分布在偏微分方程數學物理方法傅立葉分析概率論裡都和很多數學技巧有關。

定义[编辑]

狄拉克δ函数可大概认为是实直线上的一个函数,它在原点以外的所有点函数值为0,只在原点为无穷:

\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}

并且满足约束条件

\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.

另外,还有

\delta(x-c) = \begin{cases} +\infty, & x = c \\ 0, & x \ne c \end{cases}
\int_a^b\delta(x-c)dx=1,\quad a<c<b

性质[编辑]

缩放和对称[编辑]

对于非零标量α,δ函数满足下面的缩放性: [7]

\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}

所以

\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{|\alpha|}.

特别地,δ函数是一个分布,这就是说

\delta(-x) = \delta(x)

它是-1次齐次函数

代数性质[编辑]

δ与x分布积等于零:

x\delta(x) = 0.

相反,如果xf(x) = xg(x),其中fg都是分布,那么

f(x) = g(x) +c \delta(x)

c。为常数[8]

平移[编辑]

时间延迟的狄拉克δ函数的积分为:

\int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t-T)\,dt = f(T).

这有时被称为筛选特性[9]取样特性。可以说δ函数“筛选出”t = T时的值。

它遵循一个卷积函数f(t)与时间延迟的狄拉克δ的作用是延时F(T),按相同的量:

(f(t) * \delta(t-T))\,  \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \delta(t-T-\tau) \, d\tau
= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) \delta(\tau-(t-T)) \, d\tau (运用\delta(-x)=\delta(x)
= f(t-T).\,

这仅当f缓增广义函数时成立(见下面关于傅里叶变换的讨论)。作为特殊情况,我们(从分布的含义)有这条性质

\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \, dx = \delta(\xi-\eta).

其他性质[编辑]

  • \delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)
  • \delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}[\delta(x+a)+\delta(x-a)]
  • \int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b
  • \int_a^b f(x)\frac{d^n}{dx^n}\delta(x-c)dx=(-1)^n\left[\frac{d^n}{dx^n}f(x)\right]_{x=c},\quad a<c<b

傅立叶变换[编辑]

δ函数是一个缓增广义函数。因此,它的傅里叶变换是良好定义的。正式地,

\hat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi}\delta(x)\,dx = 1.

δ函数的表达式[编辑]

可以将δ函数看成一个函数序列的极限

\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x), \,

其中ηε(x)又是被叫做原生δ函数。此处为一个弱极限:

 \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{\infty}\eta_\varepsilon(x)f(x) \, dx = f(0) \

以下表达式均可代表狄拉克δ函数:

  • \delta(x)=\lim_{\alpha\to 0^+}\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2+x^2}
  • \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}dk
  • \delta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{\sin{kx}}{x}

参阅[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Dirac 1958,§15 The δ function, p. 58
  2. ^ Gel'fand & Shilov 1968,Volume I, §§1.1, 1.3
  3. ^ Schwartz 1950,第3页
  4. ^ Arfken & Weber 2000,第84页
  5. ^ Bracewell 1986,Chapter 5
  6. ^ Vladimirov 1971,§5.1
  7. ^ Strichartz 1994,Problem 2.6.2
  8. ^ Vladimirov 1971,Chapter 2, Example 3(d)
  9. ^ MathWorldSifting Property 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]