狄拉克δ函数

狄拉克δ函数（Dirac Delta function），有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上，它是這麼一個「函數」：在除了零以外的點都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。嚴格來說狄拉克δ函数不能算是一個函數，因為滿足以上條件的函數是不存在的。但可以用分佈的概念來解釋，稱為狄拉克δ分布，或δ分布，但與費米-狄拉克分布是兩回事。在廣義函數論裡也可以找到δ函數的解釋，此時δ作為一個極簡單的廣義函數出現。

在實際應用中，δ函數或δ分布總是伴隨着積分一起出現。δ分布在偏微分方程、數學物理方法、傅立葉分析和概率論裡都和很多數學技巧有關。

定义

狄拉克δ函数的定义为：

$\delta(x-c)=0,\quad x\ne c$

$\int_a^b\delta(x-c)dx=1,\quad a<c<b$

性质

狄拉克δ函数有以下性质：

• δ( − x) = δ(x)
• $\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)$
• $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$
• xδ(x) = 0,xδ(x − a) = aδ(x − a)
• $\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}[\delta(x+a)+\delta(x-a)]$
• $\int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b$
• $\int_a^b f(x)\frac{d^n}{dx^n}\delta(x-c)dx=(-1)^n[\frac{d^n}{dx^n}f(x)]_{x=c},\quad a<c<b$

表达式

狄拉克δ函数的表达式：

• $\delta(x)=\lim_{\alpha\to 0^+}\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2+x^2}$
• $\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}dk$
• $\delta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{\sin{kx}}{x}$

参阅

• Γ函数
• 黎曼ζ函数