狄拉克δ函数

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狄拉克δ函数Dirac Delta function),有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上,它是符合以下特性的「函數」:在除了零以外的點都等於零,而其在整個定義域上的積分等於1。嚴格來說狄拉克δ函数不能算是函數,因為滿足以上條件的函數是不存在的。但可以用分佈的概念來解釋,稱為狄拉克δ分布,或δ分布,但與費米-狄拉克分布是兩回事。在廣義函數論裡也可以找到δ函數的解釋,此時δ作為一個極簡單的廣義函數出現。

在實際應用中,δ函數或δ分布總是伴隨着積分一起出現。δ分布在偏微分方程數學物理方法傅立葉分析概率論裡都和很多數學技巧有關。

定义[编辑]

狄拉克δ函数可大概认为是实直线上的一个函数,它在原点以外的所有点函数值为0,只在原点为无穷:

\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}

并且满足约束条件

\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.

另外,还有

\delta(x-c) = \begin{cases} +\infty, & x = c \\ 0, & x \ne c \end{cases}
\int_a^b\delta(x-c)dx=1,\quad a<c<b

性质[编辑]

缩放和对称[编辑]

对于非零标量α,δ函数满足下面的缩放性: [1]

\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}

所以

\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{|\alpha|}.

特别地,δ函数是一个分布,这就是说

\delta(-x) = \delta(x)

它是-1次齐次函数

代数性质[编辑]

δ与x分布积等于零:

x\delta(x) = 0.

相反,如果xf(x) = xg(x),其中fg都是分布,那么

f(x) = g(x) +c \delta(x)

c。为常数[2]

平移[编辑]

时间延迟的狄拉克δ函数的积分为:

\int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t-T)\,dt = f(T).

这有时被称为筛选特性[3]取样特性。可以说δ函数“筛选出”t = T时的值。

它遵循一个卷积函数f(t)与时间延迟的狄拉克δ的作用是延时F(T),按相同的量:

(f(t) * \delta(t-T))\,  \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \delta(t-T-\tau) \, d\tau
= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) \delta(\tau-(t-T)) \, d\tau (运用\delta(-x)=\delta(x)
= f(t-T).\,

这仅当f缓增广义函数时成立(见下面关于傅里叶变换的讨论)。作为特殊情况,我们(从分布的含义)有这条性质

\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \, dx = \delta(\xi-\eta).

其他性质[编辑]

  • \delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)
  • \delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}[\delta(x+a)+\delta(x-a)]
  • \int_a^b f(x)\delta(x-c)dx=f(c),\quad a<c<b
  • \int_a^b f(x)\frac{d^n}{dx^n}\delta(x-c)dx=(-1)^n[\frac{d^n}{dx^n}f(x)]_{x=c},\quad a<c<b

傅立叶变换[编辑]

δ函数是一个缓增广义函数。因此,它的傅里叶变换是良好定义的。正式地,

\hat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi}\delta(x)\,dx = 1.

δ函数的表达式[编辑]

可以将δ函数看成一个函数序列的极限

\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x), \,

其中ηε(x)又是被叫做原生δ函数。此处为一个弱极限:

 \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{\infty}\eta_\varepsilon(x)f(x) \, dx = f(0) \

以下表达式均可代表狄拉克δ函数:

  • \delta(x)=\lim_{\alpha\to 0^+}\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2+x^2}
  • \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}dk
  • \delta(x)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\pi}\frac{\sin{kx}}{x}

参阅[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Strichartz 1994,Problem 2.6.2
  2. ^ Vladimirov 1971,Chapter 2, Example 3(d)
  3. ^ MathWorldSifting Property 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]