稳定分布

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
稳定分布
机率密度函数
概率密度函數
累计分布函数
累積分佈函數
參數

\alpha\in (0,2]\, 指数
\beta\in [-1,1]\, 偏度
c\in [0,\infty)\, 尺度参数

\mu \in (-\infty,\infty)\, 位置参数
支撑集 x \in (-\infty; +\infty)\!
概率密度函數 通常没有解析式,见下文
累積分佈函數 通常没有解析式,见下文
期望值 当α≤1时未定义,否则等于μ
中位數 见下文 当β=0时,等于μ
眾數 当β=0时,等于μ
方差 无穷(除了当 α=2,当它是2c2
偏度 未定义
峰度 未定义
信息熵 见下文
動差生成函數 未定义
特性函数

\exp\left[~it\mu - |c t|^\alpha\,(1-i \beta\,\mbox{sgn}(t)\Phi)~\right]
\Phi=\tan(\pi \alpha/2)\, for \alpha \ne 1\,

\Phi=-(2/\pi)\log|t|\, for \alpha = 1\,

概率论中,稳定分布(Stable distribution,又称为雷维偏阿尔法-稳定分布(Levy skew alpha-stable distribution))是一种连续概率分布,它是由保罗·皮埃尔·莱维发展起来的。在稳定分布中,独立同分布的随机变量之和及它们本身具有相同的分布。

更明確的說,如果X_1, X_2為分布X之獨立隨機變量,令Y = aX_1 + bX_2 + cX_1, X_2的线性组合,若Y之分布滿足dX + e,則稱X為穩定分布。如果对于所有的abce=0,則稱X严格稳定。

稳定分布被用作金融数据的分析。比如本華·曼德博发现棉花价格的变化服从稳定分布(\alpha = 1.7)。

分布[编辑]

一个稳定分布可以用尺度c、特性指数\alpha、移位\mu和偏度参数\beta来表示。

偏度参数必须位于区间[−1, 1]内。当它为零时,分布呈对称,可以称为雷維阿尔法对称稳定分布。指数\alpha必须位于区间(0, 2]内。

稳定分布可以用它的特征函数\varphi(t)连续傅里叶变换来定义:


f(x;\alpha,\beta,c,\mu) = {1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi (t)
e^{-itx}\,dt

其中\varphi(t)可以表示为:


\varphi(t) = 
\exp\left[~it\mu\!-\!|c t|^\alpha\,(1\!-\!i \beta\,\textrm{sgn}(t)\Phi)~\right]

其中sgn(t)t符号\Phi 表示为:

\Phi=\tan(\pi \alpha/2)\,

\alpha = 1

\Phi=-(2/\pi)\log|t|.\,

\mu是移位参数,\beta衡量对称性。当\beta=0时,表示分布关于\mu对称。c是尺度因素,它衡量分布的宽度。\alpha是分布指数,表示当\alpha < 2时分布的渐进行为。

\alpha < 2 时的渐进行为可以表示为:


f(x)\sim\frac{\alpha c^\alpha (1+\beta) \sin(\pi \alpha / 2)\Gamma(\alpha)/\pi}{|x|^{1+\alpha}}

其中Γ是伽马函数(除了当α<1和β=1或-1时,尾部向着左边或者右边消失)。这种“重尾”行为造成稳定分布的方差在\alpha < 2 时无限大。

特例[编辑]

p(x)的形式没有统一的方案,但是却存在三个特例:

  • 对于\alpha=2,分布缩减为正态分布方差\sigma^2=2c^2,均值为\mu
  • 对于\alpha=1\beta=0,分布缩减为柯西分布(尺度参数为c,移位参数为\mu
  • 对于\alpha=1/2\beta=1,分布缩减为雷維分布(尺度参数为c,移位参数为\mu

以上三个分布其实是相互关联的。一个标准的柯西随机变量可以被看成是高斯随机变量(所有均值为零)和一个标准雷维分布的方差的混合。

稳定性质[编辑]

稳定分布拥有稳定性质,如果把N个阿尔法稳定变量X_i从以下分布中提出:

X_i \sim f(x;\alpha, \beta,c,\mu)\,

那么

Y = \sum_{i=1}^N k_i (X_i-\mu)\,

也像阿尔法稳定变量那样分布

Y \sim \frac{1}{s}\,\,f(y/s;\alpha,\beta,c,0).\,

其中:

s=\left(\sum_{i=1}^N |k_i|^\alpha\right)^{1/\alpha}.\,

这用特性函数的性质可以很容易证明。

广义中心极限定理[编辑]

另外一个关于稳定分布的重要的性质是它们在中心极限定理中扮演的角色。中心极限定理阐明了随着有限方差的随机变量数量增长,它们的和的分布趋向正态分布。一个推广的理论指出随着服从以1/|x|^{\alpha+1}递减的幂律尾分布(因此具有无限方差)的随机变量数量增长,它们的和的分布趋向稳定分布f(x;\alpha,0,c,0)

级数表示法[编辑]

稳定分布可以用更简单的积分来表示:

f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[
\int_0^\infty e^{it(x-\mu)}e^{-(ct)^\alpha(1-i\beta\Phi)}\,dt\right]

把第二部分用泰勒级数表示,我们有:

f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[
\int_0^\infty e^{it(x-\mu)}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-qt^\alpha)^n}{n!}\right]

其中q=c^\alpha(1-i\beta\Phi)

把积分和求和的顺序对调,然后进行积分,式子变成:

f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-q)^n}{n!}\left(\frac{1}{i(x-\mu)}\right)^{\alpha n+1}\Gamma(\alpha n+1)\right]

(在x\ne\mu的情况下成立)

参考[编辑]