伽玛分布

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Gamma
Probability density plots of gamma distributions
概率密度函數
Cumulative distribution plots of gamma distributions
累積分佈函數
參數 k > 0\, shape (real)
\theta > 0\, scale (real)
支撑集 x \in [0; \infty)\!
概率密度函數 x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!
累積分佈函數 \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!
期望值 k \theta\,\!
中位數 no simple closed form
眾數 (k-1) \theta\,\! for k \geq 1\,\!
方差 k \theta^2\,\!
偏度 \frac{2}{\sqrt{k}}\,\!
峰度 \frac{6}{k}\,\!
信息熵 k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!
+ (1-k)\psi(k) \!
動差生成函數 (1 - \theta\,t)^{-k}\,\! for t < 1/\theta\,\!
特性函数 (1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!

伽玛分布統計學的一種連續機率函數。伽玛分佈中的參數α,稱為形狀參數,β稱為尺度參數。

實驗定義與觀念[编辑]

假設隨機變數X為 等到第α件事發生所需之等候時間

機率函數[编辑]

X \sim \Gamma(\alpha, \beta);且令\lambda = \frac{1}{\beta}: (即X \sim \Gamma(\alpha, \frac{1}{\lambda}))。


f \left( X \right)
=
\frac{X^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda X\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}

X > 0

其中Gamma函数之特徵


\begin{cases} \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! & \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+
\\ \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)& \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+
\\ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
\end{cases}

動差生成函數概率母函数期望值方差[编辑]

Gamma分配的動差生成函數 m.g.f


M_{x}\left( t \right) 
=
E\left( e^{xt} \right)
=
\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}
\int_{0}^{\infty}
e^{xt}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx
=
\left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right)^{\alpha}

概率母函数 p.g.f


K_x\left(t\right) 
= 
\ln M_x\left( t \right)
=
\alpha\left[\ln\lambda-\ln\left(\lambda-t\right)\right]

期望值


\frac { dK_x \left( t \right) } {dt}
=
\frac {\alpha} {\lambda-t}
 ,\quad when(t=0),
E\left( X \right)
=
\frac{\alpha}{\lambda}

方差


\frac { d^2K_x \left( t \right) } {dt^2}
=
\frac {\alpha} {\left(\lambda-t\right)^2}
 ,\quad when(t=0),
\sigma^2\left( X \right)
=
\frac{\alpha}{\lambda^2}

Gamma的加成性[编辑]

當兩隨機變數服從Gamma分配,互相獨立,且單位時間內頻率相同時,Gamma分布具有加成性。


\coprod
\begin{cases} r.v.X\sim \Gamma \left( \alpha_1,{\color{Red}\lambda} \right) 
\\
r.v.Y\sim \Gamma \left( \alpha_2,{\color{Red}\lambda} \right)
\end{cases}
\Longrightarrow
X+Y\sim \Gamma \left( {\color{red}\alpha_1+\alpha_2},\lambda \right)

外部連結[编辑]