伽玛分布

Gamma

概率密度函數
累積分佈函數
參數	$k > 0\,$ shape (real) $\theta > 0\,$ scale (real)
支撑集	$x \in [0; \infty)\!$
概率密度函數	$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$
累積分佈函數	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!$
期望值	$k \theta\,\!$
中位數	no simple closed form
眾數	$(k-1) \theta\,\!$ for $k \geq 1\,\!$
方差	$k \theta^2\,\!$
偏度	$\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!$
峰度	$\frac{6}{k}\,\!$
信息熵	$k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ $+ (1-k)\psi(k) \!$
動差生成函數	$(1 - \theta\,t)^{-k}\,\!$ for $t < 1/\theta\,\!$
特性函数	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!$

伽玛分布（Gamma distribution）是統計學的一種連續機率函數。Gamma分佈中的參數α，稱為形狀參數（shape parameter），β稱為尺度參數（scale parameter）。

實驗定義與觀念

假設隨機變數X為 等到第α件事發生所需之等候時間

機率函數

令$X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$；且令$\lambda = \frac{1}{\beta}$： （即$X \sim \Gamma(\alpha, \frac{1}{\lambda})$）。

$f \left( X \right) = \frac{X^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda X\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}$，X > 0

其中Gamma函数之特徵

$\begin{cases} \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! & \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+ \\ \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)& \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+ \\ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \end{cases}$

Gamma積分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{X^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda X\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx$

動差母函數、機率生成函數、期望值、變異數

Gamma分配之動差母函數m.g.f

$M_{x}\left( t \right) = E\left( e^{xt} \right) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)} \int_{0}^{\infty} e^{xt}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx = \left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right)^{\alpha}$

機率生成函數 p.g.f

$K_x\left(t\right) = \ln M_x\left( t \right) = \alpha\left[\ln\lambda-\ln\left(\lambda-t\right)\right]$

期望值

$\frac { dK_x \left( t \right) } {dt} = \frac {\alpha} {\lambda-t} ,\quad when(t=0), E\left( X \right) = \frac{\alpha}{\lambda}$

方差

$\frac { d^2K_x \left( t \right) } {dt^2} = \frac {\alpha} {\left(\lambda-t\right)^2} ,\quad when(t=0), \sigma^2\left( X \right) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

Gamma的加成性

當兩隨機變數服從Gamma分配，互相獨立，且單位時間內頻率相同時，Gamma分布具有加成性。

$\coprod \begin{cases} r.v.X\sim \Gamma \left( \alpha_1,{\color{Red}\lambda} \right) \\ r.v.Y\sim \Gamma \left( \alpha_2,{\color{Red}\lambda} \right) \end{cases} \Longrightarrow X+Y\sim \Gamma \left( {\color{red}\alpha_1+\alpha_2},\lambda \right)$

外部連結

• 分布计算器（英文）