对数分布

对数分布

機率 质量 函數
累積分布函數
參數	$0 < p < 1\!$
值域	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
概率密度函数	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!$
累積分布函數	$1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!$
标记	{{{notation}}}
期望值	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!$
中位數
眾數	$1$
方差	$-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!$
偏態
峰態
熵值
動差生成函數	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!$
特徵函數	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!$

在概率论与统计学中，对数分布是一种离散概率分布形式，它也称为对数级数分布。

对数分布是从 −ln(1 − p) 的麦克劳伦级数展开

$-\ln(1-p) = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.$

派生出来的，因此

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.$

这样就可以直接导出呈 Log(p) 分布的随机变量在 $k \ge 1$ 且 $0<p<1$ 时的概率集聚函数：

$f(k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}$

由于上面是单位值，所以这个分布已经进行了归一化。

累积分布函数位

$F(k) = 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}$

其中 $\Beta$ 是 incomplete beta function。

羅納德·費雪將這種分佈應用在群體遺傳學上。

参见

• 泊松分布 (also derived from a Maclaurin series)