对数分布

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对数分布
參數 0 < p < 1\!
支撑集 k \in \{1,2,3,\dots\}\!
概率质量函數 \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
累積分佈函數 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
期望值 \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
眾數 1
方差 -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
動差生成函數 \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
特性函数 \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

概率论统计学中,对数分布是一种离散概率分布形式,它也称为对数级数分布

对数分布是从−ln(1−p)的麦克劳伦级数展开

 -\ln(1-p) = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.

派生出来的,因此

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.

这样就可以直接导出呈Log(p)分布的随机变量k \ge 10<p<1时的概率集聚函数

 f(k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}

由于上面是单位值,所以这个分布已经进行了归一化。

累积分布函数

 F(k) = 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}

其中\Betaincomplete beta function

羅納德·費雪將這種分佈應用在群體遺傳學上。

参见[编辑]