概率质量函数

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一个概率质量函数的图像。函数的所有值必须非负,且总和为1。

概率论中,概率质量函数(probability mass function,简写为pmf)是离散随机变量在各特定取值上的概率。概率质量函数概率密度函数不同之处在于:概率质量函数是对离散随机变量定义的,本身代表该值的概率;概率密度函数是对连续随机变量定义的,本身不是概率,只有对连续随机变量的概率密度函数在某区间内进行积分后才是概率。

数学定义[编辑]

假设X是一个定义在可数样本空间S上的离散随机变量 SR,则其概率质量函数 fX(x) 为

f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), &x\in S,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash S.\end{cases}

注意这在所有实数上,包括那些X不可能等于的实数值上,都定义了 fX(x)。在那些X不可能等于的实数值上, fX(x)取值为0 ( xR\S,取Pr(X = x) 为0)。

离散随机变量概率质量函数的不连续性决定了其累积分布函数也不连续。

例子[编辑]

假设X是抛硬币的结果,反面取值为0,正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个Bernoulli随机变量)中,X = x的概率是0.5,所以概率质量函数

f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\}, \\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}.\end{cases}

概率质量函数可以定义在任何离散随机变量上,包括常数分布, 二项分布(包括Bernoulli分布), 负二项分布, Poisson分布, 几何分布以及超几何分布随机变量上.