機率密度函數

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概率密度函數（probability density function）為描述随机变量的概率分布。亦為累積分佈函數（CDF）之导函数。

[编辑] 定义

对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数 $f X (x)$ 都可以被定义为其概率密度函数：

随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示： $P[a< X\le b]=\int_{a}^{b} f_X (x)\,dx$

而 $F(x)=P[X<x]=\int_{-\infty}^{x}f_{X}(\xi)d\xi$ 是X的累積分佈函數，显然概率密度函数是它的导函数。

随机变量X的n阶矩是X的n次方的数学期望，即

$\mathbb{E}[X^n]=\int_{-\infty}^{\infty} x^n f_X(x)\,dx$

X的方差为

$\sigma_X^2 = \mathbb{E} \left[ \left( X-\mathbb{E}[X] \right) ^2 \right]=\int_{-\infty}^{\infty} (x-E[X])^2 f_X(x)\,dx$

對機率密度函數作傅立葉轉換可得特徵函數。

$\Phi_X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{j\omega x}\,dx$

特徵函數與機率密度函數有一對一的關係。因此知道一個分佈的特徵函數就等同於知道一個分佈的機率密度函數。