幾何分佈

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几何分布
概率质量函數
Geometric pmf.svg
累積分布函數
Geometric cdf.svg
參數 0< p \leq 1成功概率( 0< p \leq 1成功概率(
支撑集 k \in \{1,2,3,\dots\}\! k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!
概率密度函数 (pdf) (1 - p)^{k-1}\,p\! (1 - p)^{k}\,p\!
累積分布函數 (cdf) 1-(1 - p)^k\! 1-(1 - p)^{k+1}\!
期望值 \frac{1}{p}\! \frac{1-p}{p}\!
中位數 \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\!(如果-1/\log_2(1-p)是整数,则中位数不唯一) \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\! - 1(如果-1/\log_2(1-p)是整数,则中位数不唯一)
众数 1 0
方差 \frac{1-p}{p^2}\! \frac{1-p}{p^2}\!
偏度 \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\! \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!
超值峰度 6+\frac{p^2}{1-p}\! 6+\frac{p^2}{1-p}\!
\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\! \tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!
動差生成函數 (mgf) \frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!,
for t<-\ln(1-p)\!
\frac{p}{1-(1-p)e^t}\!
特征函数 \frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\! \frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!

概率论统计学中,幾何分佈(Geometric distribution)指的是以下两种離散型概率分布中的一种:

  • 伯努利試驗中,得到一次成功所需要的試驗次数XX的值域是{ 1, 2, 3, ... }
  • 在得到第一次成功之前所经历的失败次数Y = X − 1。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式(X的分布)经常被称作shifted geometric distribution;但是,为了避免歧义,最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是p,那么k次试验中,第k次才得到成功的概率是,

\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p\,

其中k = 1, 2, 3, ....

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式,也就是第一次成功之前所失败的次数,可以写为,

\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,

其中k = 0, 1, 2, 3, ....

两种情况产生的序列都是几何数列

比如,假设不停地掷骰子,直到得到1。投掷次数是随机分布的,取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... },并且是一个p = 1/6的几何分布。

性质[编辑]

呈几何分布的随机变量X期望值是1/p方差是 (1-p)/p2:

\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p},
 \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.

类似的,呈几何分布的随机变量Y期望值是 (1-p)/p方差是 (1-p)/p2:

\mathrm{E}(Y) = \frac{1-p}{p},
 \qquad\mathrm{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}.

记号[编辑]

若随机变量\mathit{X}服从参数为\mathit{p}的几何分布,则记为X \sim G(p).

參見[编辑]

機率分佈