幾何分佈

几何分布

概率质量函數
累積分布函數
參數	$0< p \leq 1$ 成功概率 (实)	$0< p \leq 1$ 成功概率 (实)
支撑集	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$	$k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!$
概率密度函数 (pdf)	$(1 - p)^{k-1}\,p\!$	$(1 - p)^{k}\,p\!$
累積分布函數 (cdf)	$1-(1 - p)^k\!$	$1-(1 - p)^{k+1}\!$
期望值	$\frac{1}{p}\!$	$\frac{1-p}{p}\!$
中位數	$\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\!$ (如果 $-1/\log_2(1-p)$ 是整数，则中位数不唯一)	$\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil\! - 1$ (如果 $-1/\log_2(1-p)$ 是整数，则中位数不唯一)
众数	$1$	$0$
方差	$\frac{1-p}{p^2}\!$	$\frac{1-p}{p^2}\!$
偏度	$\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!$	$\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!$
超值峰度	$6+\frac{p^2}{1-p}\!$	$6+\frac{p^2}{1-p}\!$
熵	$\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!$	$\tfrac{-(1-p)\log_2 (1-p) - p \log_2 p}{p}\!$
動差生成函數 (mgf)	$\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!$, for $t<-\ln(1-p)\!$	$\frac{p}{1-(1-p)e^t}\!$
特征函数	$\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!$	$\frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!$

在概率论和统计学中，幾何分佈（Geometric distribution）指的是以下两种離散型概率分布中的一种：

• 在伯努利試驗中，得到一次成功所需要的試驗次数 X。X 的值域是 { 1, 2, 3, ... }

• 在得到第一次成功之前所经历的失败次数 Y = X − 1。Y 的值域是 { 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（X 的分布）经常被称作 shifted geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是 p，那么 k 次试验中，第 k 次才得到成功的概率是，

$\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p\,$

其中 k = 1, 2, 3, ....

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

$\Pr(Y=k) = (1 - p)^k\,p\,$

其中 k = 0, 1, 2, 3, ....

两种情况产生的序列都是几何数列。

比如，假设不停地掷骰子，直到得到 1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合 { 1, 2, 3, ... }，并且是一个 p = 1/6 的几何分布。

性质

呈几何分布的随机变量 X 的期望值是 1/p，方差是 （1-p)/p²:

$\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p}, \qquad\mathrm{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.$

类似的，呈几何分布的随机变量 Y 的期望值是 (1-p)/p，方差是 （1-p)/p²:

$\mathrm{E}(Y) = \frac{1-p}{p}, \qquad\mathrm{var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}.$

记号

若随机变量$\mathit{X}$服从参数为$\mathit{p}$的几何分布，则记为$X \sim G(p)$.

參見

機率分佈