動差生成函數

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动差又被称为隨機變數X動差生成函數定義為:

M_X(t)=E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

前提是这个期望值存在。

计算[编辑]

如果X具有连续概率密度函数fx),则它的动差生成函数由下式给出:

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
 = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,

其中m_i是第iM_X(-t)fx)的双侧拉普拉斯变换

不管概率分布是不是连续,动差生成函数都可以用黎曼-斯蒂尔吉斯积分给出:

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)

其中F累积分布函数

如果X1X2、……、Xn是一系列独立的随机变量,且

S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

其中ai是常数,则Sn的概率密度函数是每一个Xi的概率密度函数的卷积,而Sn的动差生成函数则为:

M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt)

对于分量为实数向量值随机变量X,动差生成函数为:

 M_X(\mathbf{t}) = \operatorname{E}\left( e^{\langle \mathbf{t}, \mathbf{X}\rangle}\right)

其中t是一个向量,\langle \mathbf{t} , \mathbf{X}\rangle数量积

意义[编辑]

只要动差生成函数在t = 0周围的开区间存在,第n个矩为:

\operatorname{E}\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n M_X(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0}

如果动差生成函数在这个区间内是有限的,则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关,包括特征函数以及概率生成函数

累积量生成函数是动差生成函数的对数。

参见[编辑]