拉東測度

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數學測度論中,拉東(Radon)測度,是在豪斯多夫空間上的博雷爾測度,且具有局部有限內部正則性質。

定義[编辑]

m豪斯多夫空間X博雷爾集σ-代數上的測度m稱為

  • 內部正則,若對任何博雷爾集B,其測度m(B)等於B的所有緊緻子集K的測度m(K)的最小上界
  • 外部正則,若對任何博雷爾集B,其測度m(B)等於所有包含B的開集U的測度m(U)的最大下界
  • 局部有限,若X中任一點都有鄰域U,使得m(U)為有限。
  • 拉東測度,若m是內部正則及局部有限。

例子[编辑]

以下不是拉東測度:

性質[编辑]

對偶性[编辑]

在一個局部緊豪斯多夫空間上,拉東測度對應到在支集連續函數空間上的正線性泛函。這個性質是提出拉東測度的定義的主要原因。

度量空間結構[编辑]

X上的所有(正)拉東測度組成的帶點錐 \mathcal{M}_{+} (X),可以用下述度量使成為完備度量空間。定義兩個測度m_1, m_2 \in \mathcal{M}_{+} (X)間的拉東距離

\rho (m_{1}, m_{2}) := \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) \, d (m_1 - m_2) (x) \ \right| f\in C(X), f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}.

其中最小上界是對所有連續函數f: X → [-1, 1]取的。

這個度量有一些限制。例如X上的概率測度

\mathcal{P} (X) := \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \}

關於拉東度量不是序列緊緻,即是概率測度序列未必有收斂子序列。這個性質在一些應用中會造成困難。另一方面,若X是緊緻度量空間,那麼 Wasserstein度量使\mathcal{P} (X)成為緊緻度量空間。

在拉東度量收斂意味著測度的弱收斂

\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,

但反之則不必然。在拉東度量收斂有時稱為強收斂,以便和弱收斂對比。

外部連結[编辑]