流 (数学)

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数学中, 一个用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法,这经常出现在工程学, 物理学常微分方程的研究中。非正式地说,如果 x(t) 是某一系统的坐标连续表现为一个 t函数,那么x(t) 是一个流。更形式地说,流是单参数群在一个集合上的群作用

向量流的概念,即由一个向量场确定的流,出现于微分拓扑黎曼流形李群诸多领域。向量流的特例包括测地流哈密顿流Ricci 流平均曲率流以及 Anosov 流

形式化定义[编辑]

集合 X 上的一个流是 (\mathbb{R},+)X 上的群作用。更准群地,群是一个函数 \varphi:X\times \mathbb{R}\rightarrow X,满足 \varphi(x,0) = x 且和单参数群保持一致:

\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,s+t)

对所有 s,t 属于 \mathbb{R}x\in X

集合 \mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\mathbb{R}\} 称为x\varphi 作用下的轨道

当空间 X 有额外的结构(比如 X 是一个拓扑空间X = \mathbb{R}^n.)时,流经常要求连续甚至可微

在许多领域,包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

x(t)

写成 \phi(x,t),这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上,在记号上,有严格的等价关系:x(t)\equiv\phi(x,t)。类似地

x_0=x(0)

写成 x=\phi(x,0),等等。

例子[编辑]

流最常见的例子是描述自治常微分方程的解,当方程的解存在且惟一时

 y' = f(y),\;\;\; y(0)=x

可作为初始条件 x 的函数。这就是,如果以上方程有惟一的解 \psi_x:\mathbb{R}\rightarrow X 对任何 x\in X,那么\varphi(x,t) = \psi_x(t) 定义了一个流。

参考文献[编辑]