流 (数学)

在数学中， 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 $x(t)$ 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么$x(t)$ 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。

向量流的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、Ricci 流、平均曲率流以及 Anosov 流。

形式化定义

集合 $X$ 上的一个流是 $(\mathbb{R},+)$ 在 $X$ 上的群作用。更准群地，群是一个函数 $\varphi:X\times \mathbb{R}\rightarrow X$，满足 $\varphi(x,0) = x$ 且和单参数群保持一致：

$\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,s+t)$

对所有 $s,t$ 属于 $\mathbb{R}$ 和 $x\in X$ 。

集合 $\mathcal{O}(x,\varphi) = \{\varphi(x,t):t\in\mathbb{R}\}$ 称为$x$ 在$\varphi$ 作用下的轨道。

当空间 $X$ 有额外的结构（比如 $X$ 是一个拓扑空间或 $X = \mathbb{R}^n.$）时，流经常要求连续甚至可微。

在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

$x(t)$

写成 $\phi(x,t)$，这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上，在记号上，有严格的等价关系：$x(t)\equiv\phi(x,t)$。类似地

$x_0=x(0)$

写成 $x=\phi(x,0)$，等等。

例子

流最常见的例子是描述自治常微分方程的解，当方程的解存在且惟一时

$y' = f(y),\;\;\; y(0)=x$

可作为初始条件 $x$ 的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 $\psi_x:\mathbb{R}\rightarrow X$ 对任何 $x\in X$，那么$\varphi(x,t) = \psi_x(t)$ 定义了一个流。

参考文献

• D.V. Anosov, Continuous flow//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
• D.V. Anosov, Measureable flow//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
• D.V. Anosov, Special flow//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
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