克罗内克函数

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在数学中,克罗内克函数(又称克罗内克δ函数、克罗内克δ)\delta_{ij}\,\! 是一个二元函数,得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量(输入值)一般是两个整数,如果两者相等,则其输出值为1,否则为0。

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1 & (i=j)  \\ 
0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.\,\!

克罗内克函数的值一般简写为 \delta_{ij}\,\!

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号,但是克罗内克δ用的时候带两个下标,而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法[编辑]

另一种标记方法是使用艾佛森括号(得名于肯尼斯·艾佛森):

\delta_{ij} = [i=j ]\,\!

同时,当一个变量为0时,常常会被略去,记号变为 \delta_i\,\!

\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{if } i=0  \\ 
0, & \mbox{if } i \ne 0 \end{matrix}\right.\,\!

线性代数中,克罗内克函数可以被看做一个张量,写作 \delta^i_j\,\!

数字信号处理[编辑]

File:Unit impulse.gif
冲激函数

类似的,在数字信号处理中,与克罗内克函数等价的概念是变量为 \mathbb{Z}\,\! (整数)的函数:

\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0\end{cases}\,\!

这个函数代表着一个冲激单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时,输出的函数被称为此单元的冲激响应

性质[编辑]

克罗内克函数有筛选性:对任意 j\in\mathbb Z\,\!

\sum_{i= - \infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j\,\!

如果将整数看做一个装备了计数测度测度空间,那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y)\,\!

实际上,狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中,两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 \delta(t)\,\,\! 为连续的情况(狄拉克函数) ,而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下(克罗内克函数)。

线性代数中的应用[编辑]

线性代数中,单位矩阵可以写作 (\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,\!

在看做是张量时(克罗内克张量),可以写作 \delta^i_j\,\!

这个(1,1)向量表示:

廣義克羅內克函數[编辑]

定義廣義克羅內克函數n\times n\,\! 矩陣的行列式,以方程式表達為[1]

\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = 
\begin{bmatrix}
  \delta^{j_1}_{i_1} \delta^{j_1}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_1}_{i_n}      \\
  \delta^{j_2}_{i_1} \delta^{j_2}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_2}_{i_n}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  \delta^{j_n}_{i_1} \delta^{j_n}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_n}_{i_n}      \\
\end{bmatrix}\,\!

其中,\delta^{i}_{j}\,\! 是個張量函數,定義為 \delta^{i}_{j}\ \stackrel{def}{=}\ \delta_{ij}\,\!

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式

  • \delta^{ijk}_{imn} =\delta^{jk}_{mn}=\delta^{j}_{m}\delta^{k}_{n} - \delta^{j}_{n}\delta^{k}_{m}\,\!
  • \delta^{ijk}_{ijm} =2\delta^{k}_{m}\,\!
  • \delta^{ijk}_{ijk} =6\,\!
  • \delta^{ijk}_{lmn} =\epsilon^{ijk}\epsilon_{lmn}\,\!
其中,\epsilon^{ijk}\,\!\epsilon_{lmn}\,\!列維-奇維塔符號
  • \delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} =\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_n}\epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!
  • \delta^{1 2 \dots n}_{i_1 i_2 \dots i_n} =\epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!
  • \delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} T_{j_1 j_2 \dots j_n}=n!\ T_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!

其中,T_{j_1 j_2 \dots j_n}\,\!n\,\! 階張量。

积分表示[编辑]

对任意的整数 n\,\! ,运用标准的留数计算,可以将克罗内克函数表示成积分的形式:

  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint z^{x-n-1} dz\,\!

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价:

  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} d\varphi\,\!

参见[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing. 2001:  pp. 14, 31, ISBN 1-55369-1333-4