柯西積分公式

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柯西积分公式数学复分析的一个重要结论,以十九世纪法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名。柯西积分公式说明了任何一个闭合区域上的全纯函数在区域内部的值完全取决于它在区域边界上的值,并且给出了区域内每一点的任意阶导数的积分计算方式。柯西积分公式是复分析中全纯函数“微分等同于积分”特性的表现。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。

这个公式是柯西在1831年证明的。柯西在同年10月11日首次将其发表,并将它写入了1841年发表的《分析与数学物理习题集》(Exercices d'analyse et de physique mathématique)一书中。[1]:204

定理[编辑]

\Omega复平面\mathbb{C}的一个单连通开子集f \; : \; \; \Omega \; \rightarrow \mathbb{C}是一个\Omega上的全纯函数。设\gamma\Omega内的一个简单闭合的可求长曲线(即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线),那么函数f\gamma内部的点a上的值是:

f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz.

其中的积分为沿着\gamma逆时针方向的积分。[2]:167

以上公式说明,全纯函数必然是无穷次可导的。这是因为假设以上的公式对函数fn阶导数成立:

f^{(n)}(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f^{(n)}(z) \over z-a}\, dz.

对上式等号右侧的积分进行n分部积分变换就可得到对n阶导数的柯西积分公式:

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over (z-a)^{n+1}}\, dz.

有时也称作柯西微分公式。右端是一个复可微的函数。这说明fn阶导数仍然是复可微的。所以依据数学归纳法可知f是无穷次可导的,并且柯西微分公式对任意阶的导数都成立。

如果函数f仅在\gamma内部是全纯函数,在边界\gamma上仅仅是连续函数,那么只有函数f的柯西积分公式成立,而微分公式不一定成立。[2]:167

证明[编辑]

CauchyIntegralFormula.png

选定以a为圆心,在\gamma内部的一个圆盘D_0 = \{ z ; \; |z - a| \leqslant r\},它的边界是C_0 = \{ z ; \; |z - a| = r\}。函数\frac{f}{z-a}在闭合区域D \setminus D_0上是全纯函数,所以根据柯西积分定理,它在边界上的积分等于0:

{1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz + {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^-} {f(z) \over z-a} = 0.

其中C_0^-的标记表示沿“内边界”C_0的积分是顺时针方向。所以将这个积分改为沿逆时针方向C_0^+後,就能得到:

{1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz = {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a} \, dz .

这个等式与圆盘D_0的半径r无关,也就是说无论圆盘多么小,这个等式都成立。注意到当半径r趋于0的时候,函数f在圆C_0上的值基本上等于f(a)。所以


\begin{align}
\left| \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a}\, dz -  2\pi i f(a) \right| &= \left| \oint_{C_0^+} {f(z) - f(a) \over z-a}\, dz \right| \\
&= \left| \int_{0}^{2\pi} {f(a + r\cdot e^{it}) - f(a) \over a+ r\cdot e^{it} - a} r i \cdot e^{it}\, dt \right| \qquad (z = a + r\cdot e^{it}) \\
&= \left| \int_{0}^{2\pi} \left[ f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right]  i \, dt \right| \\
&\leqslant \int_{0}^{2\pi} \left| f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right| \, dt \\
&\leqslant 2\pi \max_{0 \leqslant t < 2\pi } \left| f(a + r\cdot e^{it}) - f(a)\right| \xrightarrow[r\to 0]{} 0.
\end{align}

这说明

{1 \over 2\pi i} \oint_{\gamma} {f(z) \over z-a}\, dz = {1 \over 2\pi i} \oint_{C_0^+} {f(z) \over z-a} \, dz =  {1 \over 2\pi i} 2\pi i f(a) = f(a). \qquad \Box[2]:168-169

例子[编辑]

函数 g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) 实部的图像,在两个极点附近趋于无穷

考虑函数:g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}以及闭合区域:|z| = 2。这是一个以原点为圆心,半径为2的圆,以下记作C. 下面使用柯西积分公式计算g(z)沿C的积分。

首先,函数g有两个极点,分别是方程z^2+2z+2 = 0的两个复根:z_1=-1+i, z_2=-1-i. 它们的长都小于2,所以都在C的内部。函数可以写成g

g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}.

g在两个极点附近趋于无穷。在两个极点周围各作一个小圆圈:C_1C_2,应用柯西积分定理可知,所要求的积分

\oint_{C} g(z) \, dz = \oint_{C_1} g(z) \, dz + \oint_{C_2} g(z) \, dz.

注意到函数f_1 = \frac{z^2}{z - z_1}C_2内部是全纯函数,所以在C_2上的积分:

\oint_{C_2} g(z)\, dz =  \oint_{C_2} {f_1(z) \over z - z_2} \, dz = 2\pi i f_1(z_2).

同理,函数f_2 = \frac{z^2}{z - z_2}C_1内部是全纯函数,所以

\oint_{C_1} g(z)\, dz =  \oint_{C_1} {f_2(z) \over z - z_1} \, dz = 2\pi i f_2(z_1).

所以


\begin{align}
\oint_{C} g(z) \, dz &= \oint_{C_1} g(z) \, dz + \oint_{C_2} g(z) \, dz. = 2\pi i f_1(z_2) + 2\pi i f_2(z_1) \\
&= 2\pi i \left( \frac{z_2^2}{z_2 - z_1} + \frac{z_1^2}{z_1 - z_2}\right) = 2\pi i \frac{z_1^2 - z_2^2}{z_1 - z_2} = 2\pi i \left( z_1 + z_2 \right) \\
&= -4\pi i
\end{align}

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Reinhold Remmert. Theory of Complex Functions. Springer (GTM122). 1991. ISBN 9780387971957 (英文). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 S.D. Joglekar. Mathematical Physics: The Basics. Universities Press. 2005. ISBN 9788173714221 (英文).