单位阶跃函数

單位階躍函數，又称赫维赛德阶跃函数，定義如下：

$H(x) = \begin{cases} 0, & x 0 \end{cases}$

或

$H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )$

它是個不連續函數，其「微分」是狄拉克δ函數。它是一個幾乎肯定是零的隨機變數的累積分布函數。

事實上，$x = 0$的值在函數應用上並不重要，可以任意取。

這個函數由奥利弗·黑維塞提出。

連續函數逼近

• $H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}$
• $H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \$
• $H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \$