单位阶跃函数

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Dirac distribution CDF.svg

單位階躍函數,又称赫维赛德阶跃函数,定義如下:

H(x) =
 \begin{cases} 0, & x  0
 \end{cases}

H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )

它是個不連續函數,其「微分」是狄拉克δ函數。它是一個幾乎必然是零的隨機變數累積分布函數

事實上,x = 0的值在函數應用上並不重要,可以任意取。

這個函數由奥利弗·黑維塞提出。

連續函數逼近[编辑]

  • H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-2kx}}
  • H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(kx) \
  • H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{erf}(kx) \