薛丁格繪景

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量子力學

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

入門、數學表述        背景 古典力學、舊量子論、干涉 哈密頓量、狄拉克符號 基本概念 量子態、波函數、態向量 態疊加原理、波粒二象性 埃倫費斯特定理、量子纏結 包立不相容原理、量子脫散 量子穿隧效應、量子測量 實驗 薛丁格的貓、雙縫實驗 戴維森-革末實驗 施特恩-格拉赫實驗 貝爾定理的實驗驗證 波普爾實驗、量子擦除器 構想 薛丁格繪景、海森堡繪景 交互作用繪景、矩陣力學 求和的歷史 方程式 薛丁格方程式、包立方程式 克萊因-戈登方程式 狄拉克方程式 詮釋 哥本哈根詮釋、系綜詮釋 隱變數、交易詮釋 多世界詮釋、一致性歷史 德布罗意-玻姆理论 量子邏輯 進階理論 量子場論、量子重力 萬有理論 科學家 普朗克、玻尔、埃倫費斯特 海森堡、薛丁格、德布羅意 玻恩、愛因斯坦、艾弗雷特 索末菲、馮·诺伊曼、費曼 狄拉克、維恩、玻姆、其他

在薛丁格繪景裏，量子系統的量子態可以隨著時間演化；而負責演化的算符是一個稱為時間演化算符的么正算符，不可以隨時間演化。這與海森堡繪景明顯的不同。在海森堡繪景裏，算符可以相依於時間；而量子態是不會隨時間演化的。雖然有這樣的差異，兩種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達同樣的物理現象。

時間演化算符

定義

時間演化算符 $U(t,\,t_0)\,\!$ 定義為

$| \psi(t) \rangle = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle \,\!$ ；

其中，$| \psi(t) \rangle\,\!$ 是處於時間為 $t\,\!$ 的量子態，表達為右括向量，$U(t,\,t_0)\,\!$ 是時間演化算符，從時間 $t\,\!$ 演化到時間 $t_0\,\!$ 。

這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符 $U(t,\,t_0)\,\!$ 作用於時間是 $t_0\,\!$ 的量子態 $| \psi(t_0) \rangle\,\!$ ，則會得到時間是 $t\,\!$ 的量子態 $| \psi(t) \rangle\,\!$ 。

類似地，也可以用左括向量 $\langle \psi|\,\!$ 來定義：

$\langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,\,t_0) \,\!$ ；

其中，算符 $U^{\dagger}\,\!$ 是算符 $U\,\!$ 的厄米共軛。

性質

性質 1

時間演化算符必須是么正算符。

由於量子態必須滿足歸一條件，量子態的範數不能隨時間而變：

$\langle \psi(t)| \psi(t) \rangle= \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle \,\!$ 。

可是，

$\langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)| \psi(t_0) \rangle\,\!$ 。

所以，

$U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)=I \,\!$ ;

其中，$I\,\!$ 是單位算符。

性質 2

時間演化算符 $U(t_0,\,t_0)\,\!$ 必須是單位算符。

因為，

$| \psi(t_0) \rangle = U(t_0,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle \,\!$ 。

所以，很顯明地，

$U(t_0,\,t_0)=I\,\!$ 。

性質 3

從初始時間 $t_0 \,\!$ 到最後時間 $t \,\!$ 的時間演化算符，可以視為從中途時間 $t_1 \,\!$ 到最後時間 $t\,\!$ 的時間演化算符，乘以從初始時間 $t_0 \,\!$ 到中途時間 $t_1\,\!$ 的時間演化算符：

$U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)\,\!$ 。

根據時間演化算符的定義，

$| \psi(t_1) \rangle = U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle \,\!$ ，

$| \psi(t) \rangle = U(t,\,t_1) | \psi(t_1) \rangle \,\!$ 。

所以，

$| \psi(t) \rangle = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle \,\!$ 。

可是，再根據定義，

$| \psi(t) \rangle = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle \,\!$ 。

所以

$U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)\,\!$ 。

時間演化算符的微分方程式

讓我們約定 $t_0=0\,\!$ ，初始時間 $t_0 \,\!$ 永遠是 $0 \,\!$ 。那我們可以省略時間演化算符的 $t_0\,\!$ 參數，寫為 $U(t)\,\!$ 。含時薛丁格方程式為

$i \hbar {d \over dt} U(t) | \psi (0) \rangle = H U(t)| \psi (0)\rangle \,\!$ ；

其中，$\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數，$H\,\!$ 是哈密頓量。

由於 $|\psi(0) \rangle \,\!$ 是一個常數（處於 $t=0\,\!$ 的量子態），我們可以察覺，時間演化算符遵守含時薛丁格方程式：

$i \hbar {d \over dt} U(t) = H U(t) \,\!$ 。

假若，哈密頓量不相依於時間，這方程式的解答是

$U(t) = e^{-iHt / \hbar} \,\!$ 。

在這裏，我們用到了性質 2 ， $U(0)=I\,\!$ 。

根據時間演化算符的定義，

$| \psi(t) \rangle = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rangle \,\!$ 。

注意到 $|\psi(0) \rangle \,\!$ 是一個任意的量子態。可是，假若初始的量子態$|\psi(0) \rangle \,\!$ 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是 $E\,\!$ ，那麼，

$| \psi(t) \rangle = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rangle \,\!$ 。

這樣，我們可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的演化，添加的只有相位因子。

假若，哈密頓量相依於時間，但是，在不同的時間的哈密頓量互相對易，則時間演化算符可以寫為

$U(t) =\left. e^{-i/\hbar \int\limits _0^t H(t^')\, dt^'}\right. \,\!$ 。

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式
• 相互作用绘景

參考文獻

Shankar, R.. Principles of Quantum Mechanics. 2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.