薛丁格繪景

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埃爾溫·薛丁格。

薛丁格繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述。薛丁格繪景專注研究量子系統的量子態隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響量子態。這與海森堡繪景狄拉克繪景明顯不同。海森堡繪景專注研究對應於可觀察量算符隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響這些算符。狄拉克繪景則研究量子態與對應於可觀察量的算符隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響量子態與這些算符。雖然有這樣的差異,這三種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為,它們都是在表達同樣的物理現象。[1]:80-84[2][3]

在薛丁格繪景裏,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從 t_0 流易到 t ,而經過這段時間間隔,態向量 |\psi(t_0)\rangle 演化為態向量 |\psi(t)\rangle ,這時間演化過程以方程式表示為

|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle

其中,U(t, t_0) 是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量 H 不含時,則時間演化算符為

 U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}

其中, \hbar約化普朗克常數指數函數  e^{-iH(t-t_0)} 必須通過其泰勒級數計算。

對於不顯含時哈密頓量(\partial_tH=0 ),薛丁格繪景非常有用。

時間演化算符[编辑]

定義[编辑]

時間演化算符 U(t,\,t_0) 定義為

 | \psi(t) \rangle\ \stackrel{def}{=}\  U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle

其中,右矢 | \psi(t) \rangle 是處於時間為 t 的量子態,U(t,\,t_0) 是時間演化算符,從時間 t 演化到時間 t_0

這方程式可以做這樣解釋:將時間演化算符 U(t,\,t_0) 作用於時間是 t_0 的量子態 | \psi(t_0) \rangle ,則會得到時間是 t 的量子態 | \psi(t) \rangle

類似地,也可以用左矢  \langle \psi| 來定義:

 \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,\,t_0)

其中,算符 U^{\dagger} 是算符 U厄米共軛

性質[编辑]

幺正性[编辑]

由於量子態必須滿足歸一條件,量子態的範數不能隨時間而變:[1]:66-69

 \langle \psi(t)| \psi(t) \rangle= \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rangle

可是,

 \langle \psi(t)| \psi(t) \rangle = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)| \psi(t_0) \rangle

所以,時間演化算符必須是幺正算符

 U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)=I  ;

其中,I單位算符

單位性[编辑]

時間演化算符 U(t_0,\,t_0) 必須是單位算符 U(t_0,\,t_0)=I ,因為,[1]:66-69

 | \psi(t_0) \rangle = U(t_0,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle

閉包性[编辑]

從初始時間  t_0 到最後時間  t 的時間演化算符,可以視為從中途時間  t_1 到最後時間 t 的時間演化算符,乘以從初始時間  t_0 到中途時間 t_1 的時間演化算符[1]:66-69

U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)

根據時間演化算符的定義,

 | \psi(t_1) \rangle = U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle
 | \psi(t) \rangle = U(t,\,t_1) | \psi(t_1) \rangle

所以,

 | \psi(t) \rangle = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle

可是,再根據定義,

 | \psi(t) \rangle = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rangle

所以,時間演化算符必須滿足閉包性:

U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)

時間演化算符的微分方程式[编辑]

為了方便起見,設定 t_0=0 ,初始時間  t_0 永遠是 0 ,則可忽略時間演化算符的 t_0 參數,改寫為 U(t)含時薛丁格方程式[1]:68-73

 i \hbar {d \over dt} U(t) | \psi (0) \rangle = H U(t)| \psi (0)\rangle

由於 |\psi(0) \rangle 可以是任意函數(處於  t=0 的量子態),上述方程式可以表示為

 i \hbar {d \over dt} U(t) = H U(t)

假若哈密頓量不含時,則這方程式的解答為

 U(t) = e^{-iHt / \hbar}

注意到時間演化算符必須具有單位性 U(0)=I 。另外,由於 H 是算符,指數函數  e^{-iHt} 必須通過其泰勒級數計算:

 e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots

按照時間演化算符的定義,在時間 t ,量子態為

| \psi(t) \rangle = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rangle

注意到 |\psi(0) \rangle 可以是任意量子態。假設初始的量子態 |\psi(0) \rangle 是哈密頓量的本徵態,而本徵值E ,則在時間 t ,量子態為

| \psi(t) \rangle = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rangle

這樣,可以看到哈密頓量的本徵態是定態,隨著時間的演化,添加的只有相位因子

假設,哈密頓量含時,但在不同的時間的哈密頓量互相對易,則時間演化算符可以寫為

 U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right),

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics. 2nd, Addison-Wesley. 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
  3. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.