# 干涉 (物理学)

CD盘上反射光的干涉

## 干涉的条件

 波的叠加 波 1 波 2 建设性干涉 摧毁性干涉

## 两列波的干涉

### 基础理论

$I = \left \langle \mathbf{S} \right \rangle = \frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\,$

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2}\left [\mathbf{A}(\mathbf{r})e^{-i \omega t} + \mathbf{A}^{*}(\mathbf{r})e^{i \omega t}\right ]\,$

$\mathbf{E}^2 = \frac{1}{4}\left [\mathbf{A}^2e^{-2i \omega t} + \mathbf{A}^{*2}e^{2i \omega t} + 2\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*}\right ]\,$

$I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \frac{1}{2} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*} = \frac{1}{2}\left (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right )\,$

$\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2\,$

$I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle + \left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle + 2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,$

\begin{align} \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 & = \frac{1}{4} \left [ \mathbf{A}e^{-i\omega t} + \mathbf{A}^{*}e^{i\omega t} \right] \left [ \mathbf{B}e^{-i\omega t} + \mathbf{B}^{*}e^{i\omega t} \right]\\ & = \frac{1}{4} \left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}e^{-2i\omega t} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B}^{*}e^{2i\omega t} + \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right ) \end{align} \,

$2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = \frac{1}{2}\left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right )\,$

$\mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 a_i e^{i\phi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$

$\mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 b_i e^{i\psi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$

$\delta = \phi_1 - \psi_1 = \phi_2 - \psi_2 = \phi_3 - \psi_3 = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\,$

$2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \delta = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L \,$

$a_2 = b_2 = a_3 = b_3 = 0\,$

\begin{align} I & = \frac{1}{2}a_1^2 + \frac{1}{2}b_1^2 + a_1b_1\cos\delta \\ & = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \end{align}

$I = 4I_0 \cos^2 \frac{\delta}{2}\,$，此时对应的极大值为$4I_0\,$，极小值为0。

$\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}\,$，即可见度的范围为0到1之间。

### 波前分割干涉

#### 杨氏双缝

$L_1 = \sqrt{d^2 + y^2 + (x - \frac{a}{2})^2}\,$
$L_2 = \sqrt{d^2 + y^2 + (x + \frac{a}{2})^2}\,$

$\Delta s = a \sin \alpha^{\prime} \approx a \frac{x}{d}\,$

#### 菲涅耳双棱镜

$d = 2a\tan \beta \approx 2a \beta = 2a \alpha (n - 1)\,$

#### 迈克耳孙测星干涉仪

$\Delta x = \frac{\lambda f}{d}\,$

$\mathcal{V} = \frac{2J_1(u)}{u}\,$

$D = 1.22\frac{\lambda}{2\alpha}\,$

### 振幅分割干涉

#### 等倾干涉

$\Delta L = n_2(\overline{AB} + \overline{BC}) - n_1 \overline{AN}\,$

$\overline{AB} = \overline{BC} = \frac{d}{\cos \theta^{\prime}}\,$
$\overline{AN} = \overline{AC}\sin \theta\,$

$\delta = \frac{4\pi}{\lambda}n_2 d \cos \theta^{\prime} \pm \pi\,$

#### 等厚干涉

$\Delta L = n_1 (\overline{SB} + \overline{DP} - \overline{SA} - \overline{AP}) + n_2(\overline{BC} + \overline{CD})\,$

$\Delta L = 2n_2 d\cos \theta^{\prime}\,$

$2n_2 d \overline{\cos \theta^{\prime}} \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,$

$d = \frac{m\lambda}{2}\quad m = 0,1,2,...\,$，即对於相邻明条纹，在该点的厚度差为$\frac{\lambda}{2}\,$；若表面厚度绝对均匀，则在表面上无干涉条纹。

$2nd \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,$

$2d \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,$，其中m为整数时是亮条纹，m为半整数时是暗条纹。其干涉条纹是一组同心圆，并且中心为零级暗纹。

$r^2 = R^2 - (R-d)^2 = 2Rd - d^2 \approx 2Rd\,$

#### 迈克耳孙干涉仪

1905年至1930年间，人们又使用迈克耳孙干涉仪重复进行了多次迈克耳孙－莫雷实验，结果均不超过以太风存在情形下条纹移动量的10%。1979年，人们用激光进行了迄今为止最为精确的迈克耳孙－莫雷实验，实验所用的氦－氖激光频率被锁定到一个绝热稳定的法布里－珀罗干涉仪上，结果显示激光频率因以太风而可能存在的偏移不会超过其所预测的5×10-7[13]

### 相干性

#### 时间相干性

\begin{align} f(\nu) & = f_0 \int_{-\frac{\Delta \tau}{2}}^{\frac{\Delta \tau}{2}} e^{2i\pi (\nu - \nu_0)t}\, dt \\ & = f_0 \Delta \tau \left [ \frac{\sin {\pi (\nu - \nu_0)\Delta \tau }}{\pi (\nu - \nu_0)\Delta \tau} \right ] \end{align}

#### 空间相干性

$d \sim \frac{R}{b}\lambda\,$

## 多光束干涉

### 平行平面板的多光束干涉

$r_1A, \quad t_1t_2r_2Ae^{i\delta}, \quad t_1t_2r_2^3Ae^{2i\delta}, ... \quad t_1t_2r_2^{(2p - 3)}Ae^{i(p-1)\delta}, \quad ...\,$

$t_1t_2A, \quad t_1t_2r_2^2Ae^{i\delta}, \quad t_1t_2r_2^4Ae^{2i\delta}, ... \quad t_1t_2r_2^{(2p - 2)}Ae^{i(p-1)\delta}, \quad ...\,$

$A_r = \frac{r[1 - (r^2 + t_1t_2)e^{i\delta}]}{1 - r^2e^{i\delta}}A\,$

$A_r = \frac{\sqrt{R}(1 - e^{i\delta})}{1 - Re^{i\delta}}A\,$

$I_r = \frac{4R\sin^2\frac{\delta}{2}}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2\frac{\delta}{2}}I\,$

\begin{align} A_t & = \frac{t_1t_2}{1 - r_2^2e^{i\delta}}A\\ & = \frac{T}{1 - Re^{i\delta}}A\\ I_t & = \frac{T}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2\frac{\delta}{2}}I \end{align}

$2nd\cos\theta_2 = m\lambda\,$

$\frac{I_r}{I} = \frac{F\sin^\frac{\delta}{2}}{1 + F\sin^2\frac{\delta}{2}}\,$
$\frac{I_t}{I} = \frac{1}{1 + F\sin^2\frac{\delta}{2}}\,$

$\Delta\lambda = \frac{ \lambda_0^2}{2n\ell \cos\theta + \lambda_0 } \approx \frac{ \lambda_0^2}{2n\ell \cos\theta }$

$\mathcal{F} = \frac{\Delta\lambda}{\delta\lambda}=\frac{\pi}{2 \arcsin(1/\sqrt F)}$.

$\mathcal{F} \approx \frac{\pi \sqrt{F}}{2}=\frac{\pi R^{1/2} }{1-R}$

### 法布里－珀罗干涉仪

$m_0 = \frac{2 n d}{\lambda}\,$

$\theta_p = \sqrt{\frac{n\lambda}{d}}\sqrt{p - 1 + e}\,$

$D_p^2 = (2f\theta_p)^2 = \frac{4n\lambda f^2}{d}(p - 1 + e)\,$

## 量子干涉

1905年至1917年间，爱因斯坦通过马克斯·普朗克能量量子化假设和对光电效应的解释，在《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》[19]、《论我们关于辐射的本性和组成的观点的发展》、《论辐射的量子理论》等论文中提出电磁波的能量由不连续的能量子组成，这些能量子被称为光量子光子），而电磁辐射必须同时具有波动性和粒子性两种自然属性，这被称作波粒二象性。自罗伯特·密立根於1916年完成了光电效应的一系列实验，以及阿瑟·康普顿於1923年观察到了X射线被自由电子的散射，并於1926年测定了光子的动量，物理学界都逐渐接受了电磁波也具有粒子性的这一事实。然而，如果我们从光子的角度来理解干涉现象，就会发现存在如下的问题：当两束相干光中对应的两个光子彼此发生干涉时，相长干涉的场合需要从两个光子中产生出四个光子，相消干涉的场合则需要两个光子彼此抵消，这违反了能量守恒定律

$|\psi \rang = a_1|\psi_1 \rang + a_2|\psi_2 \rang\,$

$I = |a_1 + a_2|^2\,$

——保罗·狄拉克，《量子力学原理》第四版，第一章第3节

## 干涉测量技术

### 基本原理

#### 外差检波

$I\propto \left( E_\mathrm{sig}\cos(\omega_\mathrm{sig}t+\varphi) + E_\mathrm{LO}\cos(\omega_\mathrm{LO}t) \right)^2$
$=\frac{E_\mathrm{sig}^2}{2}\left( 1+\cos(2\omega_\mathrm{sig}t+2\varphi) \right)$
$+ \frac{E_\mathrm{LO}^2}{2}(1+\cos(2\omega_\mathrm{LO}t))$
$+ E_\mathrm{sig}E_\mathrm{LO} \left[ \cos((\omega_\mathrm{sig}+\omega_\mathrm{LO})t+\varphi) + \cos((\omega_\mathrm{sig}-\omega_\mathrm{LO})t+\varphi) \right]$
$=\underbrace{\frac{E_\mathrm{sig}^2+E_\mathrm{LO}^2}{2}}_{constant\;component}+\underbrace{\frac{E_\mathrm{sig}^2}{2}\cos(2\omega_\mathrm{sig}t+2\varphi) + \frac{E_\mathrm{LO}^2}{2}\cos(2\omega_\mathrm{LO}t) + E_\mathrm{sig}E_\mathrm{LO} \cos((\omega_\mathrm{sig}+\omega_\mathrm{LO})t+\varphi)}_{high\;frequency\;component}$
$+ \underbrace{E_\mathrm{sig}E_\mathrm{LO} \cos((\omega_\mathrm{sig}-\omega_\mathrm{LO})t+\varphi)}_{beat\;component}.$

### 实际应用

#### 光学干涉测量

##### 干涉光谱

$\Delta \nu = \frac{\rm FSR}{\mathcal{F}} = \frac{c/2nd}{\mathcal{F}}\,$

$\Delta \nu = \frac{\nu}{m\mathcal{F}}\,$，其中$\nu\,$是中心频率。

##### 引力波探测

$\frac{\Delta L}{L} = F^+h_+(t) + F^{\times}h_{\times} \equiv h(t)\,$

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