# 干涉 (物理学)

## 干涉的条件

 波的叠加 波 1 波 2 建设性干涉 摧毁性干涉

## 两列波的干涉

### 基础理论

$I = \left \langle \mathbf{S} \right \rangle = \frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\,$

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2}\left [\mathbf{A}(\mathbf{r})e^{-i \omega t} + \mathbf{A}^{*}(\mathbf{r})e^{i \omega t}\right ]\,$

$\mathbf{E}^2 = \frac{1}{4}\left [\mathbf{A}^2e^{-2i \omega t} + \mathbf{A}^{*2}e^{2i \omega t} + 2\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*}\right ]\,$

$I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \frac{1}{2} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*} = \frac{1}{2}\left (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right )\,$

$\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2\,$

$I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle + \left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle + 2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,$

\begin{align} \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 & = \frac{1}{4} \left [ \mathbf{A}e^{-i\omega t} + \mathbf{A}^{*}e^{i\omega t} \right] \left [ \mathbf{B}e^{-i\omega t} + \mathbf{B}^{*}e^{i\omega t} \right]\\ & = \frac{1}{4} \left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}e^{-2i\omega t} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B}^{*}e^{2i\omega t} + \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right ) \end{align} \,

$2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = \frac{1}{2}\left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right )\,$

$\mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 a_i e^{i\phi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$

$\mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 b_i e^{i\psi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$

$\delta = \phi_1 - \psi_1 = \phi_2 - \psi_2 = \phi_3 - \psi_3 = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\,$

$2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \delta = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L \,$

$a_2 = b_2 = a_3 = b_3 = 0\,$

\begin{align} I & = \frac{1}{2}a_1^2 + \frac{1}{2}b_1^2 + a_1b_1\cos\delta \\ & = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \end{align}

$I = 4I_0 \cos^2 \frac{\delta}{2}\,$，此时对应的极大值为$4I_0\,$，极小值为0。

$\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}\,$，即可见度的范围为0到1之间。

### 波前分割干涉

#### 杨氏双缝

$L_1 = \sqrt{d^2 + y^2 + (x - \frac{a}{2})^2}\,$
$L_2 = \sqrt{d^2 + y^2 + (x + \frac{a}{2})^2}\,$

$\Delta s = a \sin \alpha^{\prime} \approx a \frac{x}{d}\,$

#### 菲涅耳双棱镜

$d = 2a\tan \beta \approx 2a \beta = 2a \alpha (n - 1)\,$

#### 迈克耳孙测星干涉仪

$\Delta x = \frac{\lambda f}{d}\,$

$\mathcal{V} = \frac{2J_1(u)}{u}\,$

$D = 1.22\frac{\lambda}{2\alpha}\,$

### 波幅分割干涉

#### 等倾干涉

$\Delta L = n_2(\overline{AB} + \overline{BC}) - n_1 \overline{AN}\,$

$\overline{AB} = \overline{BC} = \frac{d}{\cos \theta^{\prime}}\,$
$\overline{AN} = \overline{AC}\sin \theta\,$

$\delta = \frac{4\pi}{\lambda}n_2 d \cos \theta^{\prime} \pm \pi\,$

#### 等厚干涉

$\Delta L = n_1 (\overline{SB} + \overline{DP} - \overline{SA} - \overline{AP}) + n_2(\overline{BC} + \overline{CD})\,$

$\Delta L = 2n_2 d\cos \theta^{\prime}\,$

$2n_2 d \overline{\cos \theta^{\prime}} \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,$

$d = \frac{m\lambda}{2}\quad m = 0,1,2,...\,$，即对於相邻明条纹，在该点的厚度差为$\frac{\lambda}{2}\,$；若表面厚度绝对均匀，则在表面上无干涉条纹。

$2nd \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,$

$2d \pm \frac{\lambda}{2} = m\lambda\,$，其中m为整数时是亮条纹，m为半整数时是暗条纹。其干涉条纹是一组同心圆，并且中心为零级暗纹。

$r^2 = R^2 - (R-d)^2 = 2Rd - d^2 \approx 2Rd\,$

### 相干性

#### 时间相干性

\begin{align} f(\nu) & = f_0 \int_{-\frac{\Delta \tau}{2}}^{\frac{\Delta \tau}{2}} e^{2i\pi (\nu - \nu_0)t}\, dt \\ & = f_0 \Delta \tau \left [ \frac{\sin {\pi (\nu - \nu_0)\Delta \tau }}{\pi (\nu - \nu_0)\Delta \tau} \right ] \end{align}

#### 空间相干性

$\mathcal{L} \sim \frac{R}{b}\lambda\,$

## 多光束干涉

### 平行平面板的多光束干涉

$r_1A, \quad t_1t_2r_2Ae^{i\delta}, \quad t_1t_2r_2^3Ae^{2i\delta}, ... \quad t_1t_2r_2^{(2p - 3)}Ae^{i(p-1)\delta}, \quad ...\,$

$t_1t_2A, \quad t_1t_2r_2^2Ae^{i\delta}, \quad t_1t_2r_2^4Ae^{2i\delta}, ... \quad t_1t_2r_2^{(2p - 2)}Ae^{i(p-1)\delta}, \quad ...\,$

$A_r = \frac{r[1 - (r^2 + t_1t_2)e^{i\delta}]}{1 - r^2e^{i\delta}}A\,$

$A_r = \frac{\sqrt{R}(1 - e^{i\delta})}{1 - Re^{i\delta}}A\,$

$I_r = \frac{4R\sin^2\frac{\delta}{2}}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2\frac{\delta}{2}}I\,$

\begin{align} A_t & = \frac{t_1t_2}{1 - r_2^2e^{i\delta}}A\\ & = \frac{T}{1 - Re^{i\delta}}A\\ I_t & = \frac{T}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2\frac{\delta}{2}}I \end{align}

$2nd\cos\theta_2 = m\lambda\,$

$\frac{I_r}{I} = \frac{F\sin^2\frac{\delta}{2}}{1 + F\sin^2\frac{\delta}{2}}\,$
$\frac{I_t}{I} = \frac{1}{1 + F\sin^2\frac{\delta}{2}}\,$

$\Delta\lambda \approx \frac{ \lambda_0^2}{2nd\cos\theta_2 }$

$\mathcal{F} = \frac{\Delta\lambda}{\delta\lambda}=\frac{\pi}{2 \arcsin(1/\sqrt F)}$.

$\mathcal{F} \approx \frac{\pi \sqrt{F}}{2}=\frac{\pi R^{1/2} }{1-R}$

### 法布里－珀罗干涉仪

$m_0 = \frac{2 n d}{\lambda}\,$

$\theta_p = \sqrt{\frac{n\lambda}{d}}\sqrt{p - 1 + e}\,$

$D_p^2 = (2f\theta_p)^2 = \frac{4n\lambda f^2}{d}(p - 1 + e)\,$

## 量子干涉

1905年至1917年间，爱因斯坦通过马克斯·普朗克能量量子化假设和对光电效应的解释，在《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》、《论我们关于辐射的本性和组成的观点的发展》 、《论辐射的量子理论》等论文中提出电磁波的能量由不连续的能量子组成，这些能量子被称为光量子光子）。[註 1][13]:xiii[14]因此，电磁辐射必须同时具有波动性和粒子性两种自然属性，这被称作波粒二象性。自罗伯特·密立根於1916年完成了光电效应的一系列实验，以及阿瑟·康普顿於1923年观察到了X射线被自由电子的散射，并於1926年测定了光子的动量，物理学界都逐渐接受了电磁波也具有粒子性的这一事实 [15]:67-68, 161

$|\psi \rang = (|\psi_1 \rang +|\psi_2 \rang)/\sqrt{2}\,$

$|S(\theta)\rang = (|\psi_1 \rang +e^{i\theta}|\psi_2 \rang)/\sqrt{2}\,$

$p(\theta)=|\lang S(\theta) |\psi_1 \rang|^2=(1+\cos(\theta))/2\,$

## 註釋

1. ^ 這三篇論文的英文標題分別為《On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light》、 《On the Development of Our Views Concerning the Nature and Constitution of Radiation》、 《On the Quantum Mechanics of Radiation》。
2. ^
Ca40激發態的兩種衰變路徑，其分別對應的兩個量子態由於量子疊加，衰變過程中發射的兩個光子被糾纏在一起。在此圖中，淡綠色、淡藍色波形線分別表示551.3nm波長與422.7nm波長的光子，$j$是總角量子數，$m$是磁量子數。

尽管在理论上可以在双缝干涉中每次从相干光源只发射一个光子，根据波函数的统计诠释，经过长时间的积累在屏上将得到经典的干涉条纹；然而在当前的技术下，製備单光子态还十分困难——即使是采用作为相干光源，多个光子仍然会彼此非常接近地进入光检测器，这是光子作为玻色子的一种量子效应，稱為光子群聚[6]:253。实际操作中相对可行的办法是产生光子对，从而可以作为产生单光子态的一个近似，此时在一个光子对中第二个光子的频率和传播方向都和第一个光子相关，从而可被看作是单光子的[6]:254

常见的产生光子对的方法之一是。如右圖所示，实验中将钙原子激发到61S0态，它们会通过一个二阶辐射过程回到基态，并辐射出波长分别为551.3纳米和422.7纳米的光子对[19]:18-19

另一种更常见的方法是利用非线性光学中的自發参量下转换，用晶体中的单个紫外光子作为泵浦光，其通过非线性效应产生一个信号光子和一个闲频光子，这两个光子的波长都近似为泵浦光子的波长的2倍，偏振方向都和泵浦光子互相垂直；通过采用双折射晶体可以实现泵浦光和下转换光的相位匹配，从而使输出光强得到最大[20]。产生的两个下转换光子都携带了泵浦光子的相位信息，从而处於一个纠缠态，对信号光子的任何测量都会影响到闲频光子的量子态，反之亦然[21]

## 参考文献

1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Halliday, David; HALLIDAY & RESNICK, FUNDAMENTALS OF PHYSICS, Wiley, March 2010, ISBN 978-0470556535
2. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 Born, Max; Wolf, Emil, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th Edition) (Hardcover), Cambridge University Press, October 13, 1999, ISBN 978-0521642224
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7. ^ Hariharan, Basics of Interferometry (2nd Edition), Academic Press, October 23, 2006, ISBN 978-0123735898
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13. ^ Jeffrey Strickland. The Men of Manhattan: Creators of the Nuclear Era. Lulu.com. May 2011. ISBN 978-1-257-76188-3.
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16. ^ 16.0 16.1 Paul Adrien Maurice Dirac. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press. 1 January 1981. ISBN 978-0-19-852011-5. 中文译文来自陈咸亨中译本《量子力学原理》，科学出版社出版
17. ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義 III量子力學 (1) 量子行為, 台灣: 天下文化書, 2006, ISBN 986-417-670-6
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20. ^ D. C. Burnham and D. L. Weinberg, "Observation of simultaneity in parametric production of optical photon pairs", Phys. Rev. Lett. 25, 84-87 (1970)
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