Sinc函数

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x = −6π 到 6π 区间显示在同样尺度上的归一化 sinc(x)(蓝色)与非归一化 sinc 函数(红色)

sinc函数,用 \mathrm{sinc}(x)\, 表示,有两个定义,有时区分为归一化sinc函数和非归一化的sinc函数。它们都是正弦函数单调递减函数 1/x的乘积:

  1. 数字信号处理通信理论中,归一化sinc函数通常定义为
    \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}
  2. 数学领域,历史上非归一化sinc函数 (for sinus cardinalis)定义为
    \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}

在这两种情况下,函数在 0 点的奇异点有时显式地定义为 1,sinc 函数处处可解析。

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数,只是它的变量中没有放大系数 π 。

属性[编辑]

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用:

这两个 sinc 函数的其它特性包括:

  • 非归一化 sinc 函数 \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,;对应于它与余弦函数的交点。也就是说,如果 \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\, 的导数是 0 ,即在 x = a\, 有极值,那么 \begin{matrix}\frac{\sin(a)}{a} \end{matrix} = \cos(a) \,
  • 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数j_0(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(x)}{x} \end{matrix}\,。归一化 sinc 是 j_0(\pi x)\,
  • 非归一化 sinc 的过零点是 \pi\, 的非零倍数;归一化 sinc 函数  \mathrm{sinc}(x) = \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\,   的过零点出现在非零整数。
\int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t)\,e^{-2\pi i f t}dt = \mathrm{rect}(f),
其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1,在其它区域值为 0。
  • 积分
\int_{-\infty}^\infty \begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\, dx = 1
广义积分。因为:
\int_{-\infty}^\infty \left|\begin{matrix}\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \end{matrix}\right|\ dx = \infty \,

所以它不是勒貝格積分

  •  \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)
  •  \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)} = \frac{1}{x! (-x)!}
其中 \Gamma(x)Γ函数

与狄拉克δ分布的关系[编辑]

尽管不是分布,归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数(参见狄拉克δ函数)使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

\lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)=\delta(x).

由于等式左侧并不收敛,所以这不是普通的 limit,而是说明对于任意的緊支撐平滑函数 \varphi(x)

\lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\textrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
           =\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\varphi(x)\,dx = \varphi(0),

在上面的表达式中,随着 a 趋近于 0,sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限,然而不管 a 是什么值,这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象Gibbs phenomenon)中也有类似的状况。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]

参见[编辑]