相干性

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在物理學裏，相干性 (拉丁文 cohaerere ) ，又稱同調性，描述波在傳播時，其物理量在不同地點或不同時間的相關特性。這相關特性是由於波相位的變化而產生的。因為相位的差別，兩個波的疊加會造成建設性干涉或摧毀性干涉。假設，兩個波的相位差別為常數，則這兩個波的頻率必定相同，稱這兩個波為相干的。相干度 (degree of coherence) 是專門用來表示波的相關特性的一種度量，可以由干涉顯明度 (interference visibility) 計算出來。干涉顯明度是兩個波干涉圖案的強度對比。

一般而言，給予不相干的光源，我們不能夠觀測到干涉圖案。例如，太陽可以被視為，由許多不相干的發光點，聚合而成。每一個發光點只會發光一小段時間 $\Delta t\approx 10^{-9} sec\,\!$ ，製造出一個波列，而後，再也不會發光。為了要能觀測到，這類光源產生的，兩個波列疊加的干涉圖案，我們必須要有曝光時間在 $\Delta t\,\!$ 數量級的攝影儀器。在舊時，並沒有這麼精確的攝影儀器。所以，我們無法，從不相干的光源，觀測到干涉圖案。

為了要觀測到干涉圖案，我們必須從不相干的光源，製造出相干性較高的光波。有兩種方法可以達到這目標。第一種方法稱為分隔波前法，我們可以使用狹縫過濾來增加光波的空間相干性。從狹縫透射出來的波前，大致都有同樣的相位。楊氏雙縫實驗就是使用這種方法，來得到相干性較高的光波。第二種方法稱為分隔波幅法。我們也可以用半透射，半反射的鏡子，將一束光波一分為二，人工製造出兩束相干的光波。所得到的兩束光波會有同樣的相位。邁克生干涉儀使用的是第二種方法。

自從雷射，激微波的發明，科學家不再被尋找相干性的光源這問題困擾。雷射所製造出來的波列通常能維持 $\Delta t\approx 10^{-3} sec\,\!$ 之久。這給予我們足夠的曝光時間來計錄干涉圖案。

應用

相干性這術語，原本是在學習光學的楊式雙縫實驗時，才會接觸到的。現在，這術語用於許多涉及波動的領域，像聲學、電子工程、量子力學、等等。許多科技的運作，需要相干性的理論為基礎。例如，全像攝影術、音波相位陣列、光學相干斷層掃描 (Optical coherence tomography) 、天文光學干涉儀 (astronomical optical interferometers) 、與射電望遠鏡、等等。

相干性與相關性

互相關係數是估計 兩個波多麼相關 的一種度量。互相關函數專門計算兩個波的互相關係數。根據這數據，我們可以知道兩個波的相干性 。假若，我們知道一個波的數值，那麼，我們可以用互相關係數來預測另一個波的數值。試想兩個在所有時間 完全相關的波。假設，在某個時間，第一個波有所變化，第二個波也會有同樣的變化。合併在一起，在所有時間，假若它們展示出完全的建設性干涉或摧毀性干涉。那麼，他們是完全的相干。如後面所談，第二個波不需要一定是全然不同的實體。它可能是在不同時間或不同位置的第一個波。稱這狀況為自相干性。稱用來計算波的自相關係數的函數為自相關函數。

各種波動實例

下述這些波的共同性是，它們的物理行為，可以用波方程或波方程的推廣 來描述：

• 繩索的橫向機械波。
• 液體的面波。
• 電纜的電磁波。
• 聲波。
• 無線電波與微波。
• 光波。
• 量子尺寸的粒子的物質波。

這些波的物理行為，大多數我們可以直接測量。因此，兩個波的互相關係數可以很容易的求得。但是，在光學裏，我們不能直接的測量電磁場。因為，電磁場的震盪太快，比任何偵測器的鑑別時間還要快。替而代之，我們測量光的強度。大多數在這條目提到的，涉及相干性的概念，都是先在光學發展成功，然後再轉移到別的領域。因此，許多標準的相干性測量是間接的測量，甚至在可以直接測量的領域，都是這樣的。

時間相干性

圖 1 ：隨著時間 $t\,\!$ 的變化，一個單色波的振幅（紅色），與延遲了時間 $\tau\,\!$ 的的振幅（綠色）。這兩個波的相干時間是無窮大。因為，對於所有的可能延遲時間 $\tau\,\!$ ，它們是完全相干的。

圖 2 ：隨著時間 $t\,\!$ 的變化，在時間 $\tau_c\,\!$ 內，一個相位 顯著飄移 的波的振幅（紅色），與延遲了時間 $2\tau_c\,\!$ 的振幅（綠色）。在任何設定時間 $t\,\!$ ，紅色波會與延遲的綠色複製波互相干涉。可是由於一半的時間，紅色波與綠色波同相位，另外一半時間，兩個波異相位，所以，對於這個延遲，隨著時間 $t\,\!$ 平均的干涉等於零。

一個波在時間 $t\,\!$ 與 $t+\tau\,\!$ 的相關係數，隨著時間平均後，導引出的一種度量，稱為時間相干性。這度量告訴我們，波源的單色性。換句話說，一個波在不同的時間干涉自己的能力，可以用時間相干性來估量。$\tau\,\!$ 越大，互相關係數越小，時間相干性也越小。當時間相干性顯著的減小時，定義這間隔時間為相干時間 $\tau_c\,\!$ 。當 $\tau=0\,\!$ 時，相干度是 1 ；當 $\tau\ge \tau_c\,\!$ 時，相干度會顯著地減小。波在相干時間 $\tau_c\,\!$ 內，傳播的距離，定義為相干長度 $L_c\,\!$ 。

相干時間與頻寬的關係

由於周期是頻率的逆反，一個波在越短時間內，變的不相關（ $\tau_c\,\!$ 越小），波的頻率值域 $\Delta f\,\!$ 越大。兩個物理量的關係方程為：

$\tau_c \Delta f \approx 1\,\!$ 。

用波長 $\lambda=c/f\,\!$ 來表達，

$\frac{L_c \Delta \lambda}{\lambda^2} \approx 1\,\!$ 。

用數學正式地表述，這結果可以用卷积定理導引出來。卷积定理表示出功率譜的傅里葉變換與它的自相關函數之間的關係。

實例

試想下述四個關於時間相干性的實例：

• 對於任何時間間隔，一個單色波都是完全的自相關（參閱圖 1 ）。
• 反過來說，一個相位迅速飄移的波，其相干時間必定很短（參閱圖 2 ）。
• 類似地，頻率值域較寬的波包，振幅迅速地變化。所以，波包的相干時間很短。
• 最後，白光擁有非常寬的值域頻率，是一個振幅與相位都迅速變化的波。所以，相干時間很短（ 10 週期左右），常被稱為非相干波。

雷射通常是最單色的光源。高度的單色性意味著長相干長度（長到幾百公尺）。例如，一個穩定的氦氖雷射 (helium-neon laser) ，能夠生產相干長度超過 $5 m\,\!$ 的光。可是，並不是所有的雷射都是單色的。鈦藍寶石雷射 (Ti-sapphire laser) 光的 $\Delta \lambda \approx 2\ nm\ - \ 70\ nm\,\!$ ，發光二極體的光的 $\Delta \lambda \approx 50\ nm\,\!$ ，鎢絲燈光的 $\Delta \lambda \approx 300\ nm\,\!$ 。所以，這些光源的相干時間都低於大多數的單色雷射。

全像攝影術需要長相干時間的光。相對比地，光學相干斷層掃描 (optical coherence tomography) 使用短相干時間的光。

測量方法

圖 3 ：一個波包的振幅（紅色）與延遲了時間 $2\tau_c\,\!$ 的振幅（綠色），以時間的函數形式繪製。我們可以觀察到，經過時間 $\tau_c\,\!$ ，波包的振幅有顯著地改變。在任何特定時間，紅色波包與綠色波包是不相關的；一個在做大幅度振盪的時候，另一個卻是非常平靜的。所以，在這裏，並沒有干涉效應發生。另外一種看法，波包並沒有重疊於時間，在任何特定時間，最多只有一個波包貢獻震盪，不會產生干涉。

圖 4：輸入波為圖 (3) 或圖 (4) 的波，在強度干涉儀輸出點偵測到的，隨時間平均的強度，以延遲時間 $\tau\,\!$ 的函數形式繪製。假若，延遲時間改變半個週期，那麼，干涉會從建設性轉換為摧毀性，或從摧毀性轉換為建設性。黑色曲線表示出干涉信封，這是相干度的曲線。雖然，圖 (3) 或圖 (4) 的波有不同的持續期，它們有同樣的相干時間。

在光學裏，時間相干性是用干涉儀 (interferometer) ，像邁克生干涉儀或馬赫-岑得干涉儀(Mach-Zehnder interferometer)，測量而得。干涉儀先將輸入波複製，延後 $\tau\,\!$ 時間，然後將輸入波與複製波綜合成一個輸出波。最後，用一個強度偵測器來測量隨時間平均的輸出波強度。得到的結果，稍加運算，可以求得干涉顯明度與相干度。這樣，我們可以知道延遲時間為 $\tau\,\!$ 的時間相干性。對於大多數的天然光源，由於相干時間超短於偵測器的鑑別時間，偵測器可以自己執行時間平均工作。

思考圖 (3) 例子，在時間 $\tau_c\,\!$ 內，波的強度顯著地漲落 (fluctuate) 不定。假設延遲時間為 $2\tau_c\,\!$ ，一個無窮快的偵測器所測量出的強度。在時間 $\tau_c\,\!$ 內，會顯著地漲落不定。遇到這種狀況，我們可以手工地計算強度隨時間的平均值。

空間相干性

像水波或光波，在許多物理系統裏，波可以傳播於一維或多維的空間。一個波在空間裏的兩個位置 的相關係數，經過時間平均後，導引出的一種度量，稱為空間相干性。兩個位置間隔距離越近，則互相關越大，空間相干性也越大；間隔距離越遠，則互相關越小，空間相干性也越小。當空間相干性顯著的減小時，定義這間隔區域為相干區域 $A_c\,\!$ 。

楊式雙縫實驗所用的光源必須是空間相干的光源。空間相干性的概念，也應用在光學影像系統與天文望遠鏡的製作。

實例

圖 5 ：一個平面波，相干長度與相干區域為無窮值。

圖 6 ：一個波前不規則的波，相干長度與相干區域為無窮值。

圖 7 ：一個波前不規則的波，相干長度與相干區域為有限值的波。

圖 8 ：一個相干長度與相干區域有限的波，入射於一個針孔。針孔可以將入射波過濾，增加繞射的波的空間相干性。離針孔的遠處，圓形波前的波近似於平面波。相干區域變為無窮值，而相干長度不變。

圖 9 ：兩個同樣的波，在空間裏傳播。一個波是另外一個波的位移，兩個波的相干長度與相干區域都為無窮值，兩個波的合併，在某些地方，會建設性干涉，在另外一些地方，會摧毀性干涉。經過空間平均，一個偵測面為 $D\,\!$ 的偵測器會測量到低值的干涉顯明度。例如，一個保養欠佳，失去精準度的邁克生干涉儀就會因此功能減低。

試想一個電燈泡的鎢絲。光波會從不同部位獨立地散發出來。這些光波之間，毫無固定的相位關係，光波的剖面會隨著時間呈機率地變化。電燈泡是一個白光光源，相干時間 $\tau_c\,\!$ 很短，是一個空間非相干光源。

一個射電望遠鏡的空間相干性很高。因為它的每一根天線，散發出的光波都有特別設計的，固定的相位關係。

雷射光的時間相干性與空間相干性通常都很高，雷射產生的光的特性依發光的材料而異。

全像攝影術的運作，需要時間相干與空間相干的光波。它的發明者，加柏·丹尼斯，在雷射還沒有被發明前，就已經成功地做出全像圖。他將水銀燈散發出的單色光，用一個針孔過濾器過濾，這樣，就可以產生全像攝影術所需要的相干光波。

波譜相干性

圖 10 ：不同頻率的波（即乃光學裏的顏色），假若，是相干地，那麼，就會因干涉而疊加成一個脈衝波。

圖 11 ：不同頻率的波，假若，是非相干地，那麼，就會因干涉而疊加成一個連續波，其相位與波幅都是隨機變化的。

不同頻率的波（即乃光學裏的顏色），假若，有固定的相對相位關係，那麼，就會因干涉而疊加成一個脈衝波（參閱傅里葉變換）。

反過來說，不同頻率的波，假若，是非相干地，那麼，就會因干涉而疊加成一個連續波（白光或白噪聲），時間的持續期 $\Delta t\,\!$ 限制於波譜線寬 $\Delta f\,\!$ ，依據關係方程式：

$\Delta f\Delta t \ge 1\,\!$ 。

這關係方程式也可以從傅里葉變換導引出。對於量子尺寸的粒子，這是海森堡不確定原理的必然結果之一。

測量光的波譜相干性，需要用到非線形光波干涉儀 (nonlinear optical interferometer) ，像強度相關器 (Intensity optical correlator) 或波譜相位干涉儀 (Spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction) 。

量子相干性

在量子力學裏，所有物質都有波的性質（參閱德布羅意假說）。例如，在楊氏雙縫實驗裏，我們可以用電子來替代光波。每一個從電源發射出的電子可以穿過兩條狹縫中的任何一條狹縫。電子有兩條路徑可以選擇，每一條路徑用一個量子態來代表。這兩個量子態互相干涉，造成了顯現於偵測屏障的干涉圖案。這互相干涉的能力，稱為量子相干性。

假若，我們試著測量電子到底是經過哪一條狹縫。那麼，兩個量子態的相位關係會不再存在。這雙態系統就會被非相干化了。

大尺寸的（宏觀的）量子相干會導致非常奇異的現象。例如，雷射、超導現象、超流體、等等，都是高度相干的量子系統。一個著名例子是薛丁格的貓思想實驗。這實驗表現出宏觀量子相干的奇特可能發生的現象。另一個例子是玻色-愛因斯坦凝聚。這裏，所有的原子的相位都一樣，形成了一個宏觀的的量子態