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相干性

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物理學裏,相干性coherence)指的是,為了產生顯著的干涉現象,所需具備的性質。更廣義地說,相干性描述波與自己、波與其它波之間對於某種內秉物理量關聯性質。

當兩個波彼此相互干涉時,因為相位的差異,會造成建設性干涉或摧毀性干涉。假若兩個正弦波的相位差為常數,則這兩個波的頻率必定相同,稱這兩個波「完全相干」。兩個「完全不相干」的波,例如白炽灯太陽所發射出的光波,由於產生的干涉圖樣不穩定,無法被明顯地觀察到。在這兩種極端之間,存在著「部分相干」的波。[註 1]

相干性又大致分類為時間相干性空間相干性。時間相干性與波的頻寬有關;而空間相干性則與波源的有限尺寸有關。

波與波之間的的相干性可以用相干度(degree of coherence)來衡量。干涉可見度(interference visibility)是波與波之間的干涉圖樣的輻照度對比,相干度可以從干涉可見度計算出來。

波源[编辑]

一般而言,互相不關聯的波源無法形成可觀察到的干涉圖樣。例如白炽灯太陽是由很多互相不關聯、持續生成的微小發光點所組成,每一個發光點只會作用一段時間\Delta t\approx 10^{-8}-10^{-9} sec,發射出一個有限長度的波列,之後,再也不會發光,但在其它位置,又會出現新的發光點。為了要能拍攝到這類光源所產生的由兩個波列疊加形成的干涉圖樣,攝影儀器的曝光時間必須要小於\Delta t。在舊時,無法製造出這麼高階的攝影儀器,因此從這類光源很難拍攝到干涉圖樣。[1]但是,通過適當處理,仍舊可以觀察到這些光源的干涉圖樣。[2]:457, 460

為了要觀察到這些互相不關聯的波源所形成的干涉圖樣,必須從這些波源製造出相干性較高的波。有兩種方法可以達成這目標:

  1. 第一種方法稱為「波前分割法」。從微小波源發射出的波,其波前與微小波源之間的距離大致相等。使用具有幾條狹縫的檔板來過濾從微小波源發射出的波,只要這些狹縫與微小波源之間的距離相等,就可以保證同樣的波前入射於這幾條狹縫。位於波前的每一點都可以視為一個波源,會發射出次波。因此,從這幾條狹縫衍射出來的次波,其相位大致相同。楊氏雙縫實驗就是藉著這方法製成兩束相干性較高的光波,這兩束光波會在觀察屏產生干涉圖樣。
  2. 第二種方法稱為「波幅分割法」。用半透射、半反射的半鍍銀鏡,可以將光波一分為二,製造出透射波與反射波,這兩束光波非常相似,相干性非常高。假設這兩束光波的光程長度不相等,則由於在觀察屏的相位不同,會產生明顯不同的干涉圖樣。邁克生干涉儀使用的就是這種方法。[1]

自從激光激微波的發明以後,物理學者不再為尋找高相干性的光源這問題而煩惱,激光所製造出來的波列通常能維持\Delta t\approx 10^{-3} sec之久。這給予足夠的曝光時間來拍攝干涉圖樣。

應用[编辑]

以前,只有在學習光學楊式雙縫實驗時,才會接觸到相干性這術語。現今許多涉及波動的領域,像聲學電子工程量子力學等等,都會使用到這術語。許多科技的運作都倚賴相干性質為基礎。例如,全像攝影術音波相位陣列光學相干斷層掃描天文光學干涉儀(astronomical optical interferometers)、與射電望遠鏡、等等。

相干性與關聯性[编辑]

兩個波彼此之間的關聯導致這兩個波彼此之間的相干性,又稱互相干性。這關聯是由交叉關聯函數來衡量。交叉關聯函數衡量從一個波預測另一個波的能力。[3]

舉例而言,設想在所有時間完全關聯的兩個波。在任意時間,假若一個波發生任何變化,則另一個波也會做出同樣的變化;假若結合在一起,在所有時間,它們都會展示出完全建設性干涉或完全摧毀性干涉,則它們是完全相干。如稍後所述,第二個波不需要是另外一個實體,它可能是在不同時間或不同位置的第一個波。這案例所涉及的關聯稱為「自相干性」;對於這案例,可以用自關聯函數來衡量自相干性。

嚴格定義[编辑]

假設在點S1、點S2的波擾分別為\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2(t)波浪號代表複數),則其交叉關聯函數\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)[2]:566-571

\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)=\langle\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t+\tau)\rangle
\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^T \tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t+\tau)\mathrm{d}t

其中,書名號表示取時間平均值,T是平均的時間間隔。

交叉關聯函數又稱為「互相干函數」。理論而言,必需取T趨向於無窮大的極限;然而,實際而言,只要平均的時間間隔比相干時間(大約是有限長度的波列通過某固定點的有限時間)長久很多就行了。假設兩個波\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2(t)是同相單色波,則互相干函數\langle\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t)\rangle必定大於0;假設兩個波\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2(t)是異相單色波,則互相干函數\langle\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t)\rangle必定小於0。

「準單色波」是由一系列有限長度、隨機相位的波列組成。假設兩個波都是準單色波。則由於乘積\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t)隨著兩個波列相位的不同而改變,有時大於0,有時小於0,經過時間平均,互相干函數會變得相當微小,可以近似為0。

從交叉關聯函數的定義式,可以衍生出自關聯函數,又稱為「自相干函數」。波\tilde{E}_1(t)與延遲時間\tau的自己波,兩者之間的自相干函數為

\tilde{\Gamma}_{11}(\tau)=\langle\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_1^{\,*}(t+\tau)\rangle

歸一化的互相干函數為

\tilde{\gamma}_{12}(\tau)=\frac{\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)}{\sqrt{\tilde{\Gamma}_{11}(0)\tilde{\Gamma}_{22}(0)}}
=\frac{\langle\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t+\tau)\rangle}{\sqrt{\langle|\tilde{E}_1(t)|^2\rangle \langle|\tilde{E}_2(t)|^2\rangle}}

\tilde{\gamma}_{12}(\tau)又稱為兩個波的「複相干度」。從柯西-施瓦茨不等式可以推導出|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|\le 1。絕對值|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|就是相干度。當|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|=1時,波\tilde{E}_1與波\tilde{E}_2完全相干;當|\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|=0時,兩個波完全不相干;當0< |\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|< 1時,兩個波部分相干。

本圖展示各種干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度與干涉可見度的關係。縱軸是輻照度除以最大輻照度,橫軸是空間坐標。

「干涉可見度」衡量干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度,以方程式定義,

\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}

其中,I_{max}I_{max}分別為干涉圖樣的最大輻照度與最小幅照度。

干涉可見度的范围在0到1之间。假設兩個波的振幅相等,則干涉可見度等於相干度:

\mathcal{V} = |\tilde{\gamma}_{12}(\tau)|

各種波動實例[编辑]

下述這些波的共同之處是,它們的物理行為可以用波動方程式或推廣的波動方程式來描述:

這些種類的波的物理行為,大多數可以直接測量獲得。因此,波與波之間的互相干函數可以很簡單地求得。但是,在光學裏,不能直接的測量電磁場,因為電磁場的震盪太快,比任何偵測器的時間分辨率還要快。[4]可行之道是測量光波的輻照度

大多數在這條目提到的涉及相干性的概念,都是先在光學領域發展成功,然後再適應於其它領域。因此,許多相干性測量標準都是採用間接地測量,甚至在可以直接測量的領域,都是這樣做。

時間相干性[编辑]

圖1:本圖顯示出,一個單色波的振幅(紅色),與延遲了時間\tau的自己波的振幅(綠色),這兩個振幅隨著時間t的演進而變化。這兩個波的相干時間是無窮大。因為,對於所有可能延遲時間\tau,它們是完全關聯的。
圖2:本圖顯示出,一個相位顯著飄移的準單色波的振幅(紅色,相干時間為\tau_c),與延遲了時間2\tau_c的自己波的振幅(綠色),這兩個振幅隨著時間t的演進而變化。在任何給定時間t,紅色波會與綠色波互相干涉。但是由於一半時間,紅色波與綠色波同相,另一半時間,兩個波異相,所以,對於這延遲,經過時間平均後,自相干函數可以近似為0。

一個波\tilde{E}_1(t)與延遲了時間\tau的自己波,兩者之間的自相干函數\tilde{\Gamma}_{11}(\tau),可以用來衡量時間相干性。對應的複相干度為\tilde{\gamma}_{11}(\tau),又稱為「複時間相干度」。時間相干性可以表達波源的單色性質,可以衡量一個波在延遲某時間後干涉自己的能力,因此又稱為「縱向相干性」。經過一段延遲時間\tau後,假若一個波的相位或波幅開始發生足夠顯著的變化(因此自相干函數開始顯著地減小),則定義此延遲時間為「相干時間」\tau_c。有限長度的波列通過某固定點的有限時間大約是相干時間。當\tau=0時,一個波\tilde{E}_1(t)與自己的相干度為|\tilde{\gamma}_{11}(0)|=1;而當\tau\ge \tau_c時,相干度|\tilde{\gamma}_{11}|會顯著地減小,顯示在觀察屏的干涉圖樣也會變得模糊不清。「相干長度」L_c定義為,在相干時間\tau_c內,波所能傳播的距離,又稱為「縱向相干長度」。

相干時間與頻寬的關係[编辑]

由於周期倒數頻率,一個波在越短時間內,變的不自相干(\tau_c越小),則波的頻寬\Delta f越大。兩個物理量的關係方程為

\tau_c \Delta f \approx 1

波長\lambda=c/f來表達,

\frac{L_c \Delta \lambda}{\lambda^2} \approx 1

數學表述,這結果可以從傅立葉變換推導出來。自相干函數的傅里葉變換就是功率譜power spectrum,每個頻率的輻照度)。[2]:572

實例[编辑]

試想下述四個關於時間相干性的實例:

  • 對於任何時間間隔,一個單色波都是完全的自相干(參閱圖1)。
  • 反過來說,一個相位迅速飄移的波,其相干時間必定很短(參閱圖2)。
  • 類似地,具有較寬頻域的脈衝波pulse wave,一種波包),由於振幅迅速地變化,所以,相干時間很短。
  • 白光擁有非常寬的頻域,是一種振幅與相位都迅速變化的波。由於相干時間很短(10週期左右),常被稱為「不相干波」。

雷射通常是最單色的光源。高度的單色性意味著長相干長度(長到幾百公尺)。例如,一個穩定的氦氖雷射(helium-neon laser),能夠生產相干長度超過5 m的光。可是,並不是所有的雷射都是單色的,例如,鈦藍寶石雷射(Ti-sapphire laser)光的\Delta \lambda \approx 2\ nm\ - \ 70\ nm發光二極體的光的\Delta \lambda \approx 50\ nm,鎢絲燈光的\Delta \lambda \approx 600\ nm[來源請求]這些光源的相干時間都低於大多數的單色雷射。

全像攝影術需要長相干時間的光。相對比較,光學相干斷層掃描使用短相干時間的光。

測量方法[编辑]

圖3:本圖顯示出,一個波包的振幅(紅色)與延遲了時間2\tau_c的自己波包的振幅(綠色),這兩個振幅隨著時間t的演進而變化。從本圖可以觀察到,經過時間\tau_c,波包的振幅有顯著地改變。在任何瞬時,紅色波包與綠色波包是不關聯的;當一個波包在做大幅度振盪的時候,另一個波包卻是非常的平靜。所以,在這裏,並沒有干涉效應發生。另外一種看法,波包並沒有重疊於時間,在任何瞬時,最多只有一個波包貢獻震盪,不會產生干涉。
圖4:輸入波為圖 (2)或圖 (3)的波,在輻照度干涉儀輸出點偵測到的,經過時間平均後的輻照度,以延遲時間\tau的函數形式繪製。假設將延遲時間改變半個週期,則干涉會從建設性轉換為摧毀性,或從摧毀性轉換為建設性。黑色曲線顯示出干涉包絡線,這是相干度的曲線。雖然,圖 (2)或圖 (3)的波有不同的持續期,它們有同樣的相干時間。

在光學裏,時間相干性可以用干涉儀(interferometer)來測量,例如,邁克生干涉儀馬赫-岑得干涉儀(Mach-Zehnder interferometer)。干涉儀先將輸入波複製,延後\tau時間,然後將輸入波與複製波結合為輸出波,再用輻照度偵測器來測量經過時間平均後的輸出波輻照度,得到的數據,稍加運算,可以求得干涉可見度。這樣,可以知道延遲時間為\tau的相干度。對於大多數的天然光源,由於相干時間超短於偵測器的時間分辨率,偵測器自己就可以完成時間平均工作。

思考圖 (3)案例,在相干時間\tau_c內,波的輻照度顯著地漲落不定。假設延遲時間為2\tau_c,則一個無窮快的偵測器所測量出的輻照度也會顯著地漲落不定。對於這案例,可以手工計算輻照度的時間平均值來求得時間相干性。

空間相干性[编辑]

波源綿延有限尺寸的楊氏雙縫實驗示意圖。最右邊的干涉圖樣是由單獨點波源產生的圖樣。

為了展示出顯著的干涉圖樣,楊氏雙縫實驗所使用的光源必須具有空間相干性。光學影像系統與天文望遠鏡的製作必需考慮到光源的空間相干性。

空間相干性與波源的有限尺寸有關。這可以用楊式雙縫實驗來解釋。在典型的楊式雙縫實驗裏,只存在有一個點光源S,其所發射出的單色光,在通過不透明擋板的位於點S1、點S2的兩條狹縫之後,會在觀察屏顯示出干涉圖樣。現在將這實驗加以延伸,將點光源S改為綿延有限尺寸b的線光源。從做實驗獲得的結果,物理學者發覺,假定線光源與擋板之間的距離R足夠遠,則若要在觀察屏的中央軸區域顯示出干涉圖樣,必須先滿足以下條件:[5]

b\theta \lesssim \lambda

其中,\theta 是點S1、點S2對於頂點S的夾角。\lambda是光波的平均波長。

注意到\theta \approx \mathcal{L}/R\alpha \approx b/R;其中,\mathcal{L}是兩個狹縫之間的距離,\alpha 是有限尺寸光源對於檔板中央軸交點的夾角。所以,必須滿足條件[5]

\mathcal{L}\lesssim \lambda/\alpha

因此,可以估算這問題的「橫向相干長度」為\mathcal{L}_c=\lambda/\alpha。假若兩個狹縫之間的距離大於\mathcal{L}_c,則干涉圖樣會消滅殆盡。對於三維案例,可以使用物理量「相干面積」,以方程式表示為\mathcal{A}_c=\lambda^2/\alpha^2

在許多物理系統裏,像水波或光波一類的波可以傳播於一維或多維的空間。空間相干性衡量位於點S1、點S2的的兩個波擾,經過時間平均後,彼此相互干涉的能力。更精確地說,空間相干性是這兩個波擾除去了延遲時間因素之後的交叉關聯函數。假設某波前的波幅為常數,則在其任意兩個位置的波擾,彼此之間都具有完全空間相干性。

繼續思考楊氏雙縫實驗,只專注於檔板與觀察屏之間的狀況。假設點S1、點S2的兩個波擾分別為\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2(t),則其互相干函數\tilde{\Gamma}_{12}(\tau)=\langle\tilde{E}_1(t)\tilde{E}_2^{\,*}(t+\tau)\rangle
與點S1、點S2的位置和延遲時間\tau有關。由於在觀察屏的干涉圖樣,其中心點Q是中央軸與觀察屏的交點,從點S1、點S2同時發射的光波,會在同時抵達點Q,在點延遲時間為

\tau=(r_1-r_2)/c\approx 0

其中,r_1r_2分別是從S1、點S2到點Q的距離,c是光速。

因此,除去了延遲時間因素,互相干函數\tilde{\Gamma}_{12}(0)可以衡量在點S1、點S2的兩個波擾的空間相干性。複相干度\tilde{\gamma}_{12}(0)稱為在點S1、點S2的兩個波擾的「複空間相干度」。[2]:572

實例[编辑]

Spatial coherence infinite ex1.png

圖5:一個平面波,相干長度與相干面積為無窮值。

Spatial coherence infinite ex2.png

圖6:一個波前不規則的波,相干長度與相干面積為無窮值。

Spatial coherence finite.png

圖7:一個波前不規則的波,相干長度與相干面積為有限值。

Spatial coherence pinhole.png

圖8:一個波前不規則、相干長度與相干面積為有限值的波,入射於具有一條狹縫的檔板。入射波穿過狹縫後,衍射出來的波,其空間相干性會增加。經過傳播一段距離,在離狹縫較遠處,圓形波前的波近似於平面波。相干面積變為無窮值,而相干長度不變。

Spatial coherence detector.png

圖9:兩個同樣的波,在空間裏傳播。一個波是另外一個波的位移,兩個波的相干長度與相干面積分別為無窮值。兩個波的結合,在某些位置,會建設性干涉,在另外一些位置,會摧毀性干涉。經過空間平均,偵測器所觀察到的干涉圖樣,其干涉可見度會減低。例如,一個未校準的馬赫-岑得干涉儀Mach-Zehnder interferometer)就會出現這種狀況。

試想一個電燈泡鎢絲,從其不同位置會獨立地發射出毫無固定相位關係的光波。仔細觀察,在任意時間,光波的剖面都毫無規律可言。每經過一段相干時間\tau_c,光波的剖面都會機率性地變化。電燈泡是一個白光光源,相干時間\tau_c很短,是一個空間不相干光源。

位于美国新墨西哥州的综合孔径射电望远镜甚大天线阵

電波望遠鏡天線陣的空間相干性很高,在天線陣對端的每兩根天線所發射出的光波,彼此之間都有特別設計的固定相位關係。

雷射產生的光波的時間相干性與空間相干性通常都很高,其相干度依激光的性質而定。

全像攝影術的運作,需要時間相干與空間相干的光波。它的發明者,伽博·丹尼斯,在雷射還沒有被發明前,就已經成功地做出全像圖。他將水銀燈的發射線激發出的單色光,通過針孔過濾器,製成全像攝影術所需要的相干光波。

2011年2月,物理學者發現,冷卻至接近絕對零度氦原子,當變為玻色-愛因斯坦凝聚時,它們的物理行為會如同雷射發射出的相干光束一樣。[6][7]

波譜相干性[编辑]

幾個不同頻率的波(在光學裏,不同顏色的光波),假若是相干的,則會因相互干涉而形成一個脈衝波。
幾個波譜不相干的波因相互干涉而形成的波,其相位與波幅都會隨機變化。

不同頻率的波(在光學裏,不同顏色的光波),假若有固定的相對相位關係,則會因干涉而形成一個脈衝波(參閱傅里葉變換)。反過來說,假若不同頻率的波是不相干的,則結合在一起它們會形成像白光白噪聲一類的波。脈衝波的時間持續期\Delta t被頻寬\Delta f限制,依據關係方程式:

\Delta f\Delta t \ge 1

這關係方程式也可以從傅里葉變換推導出。對於量子尺寸的粒子,這是海森堡不確定原理的必然結果。

測量光的波譜相干性,需要用到非線形光波干涉儀(nonlinear optical interferometer),像輻照度關聯器(Intensity optical correlator)、頻域分辨光學開關波譜相位干涉儀(Spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction)。

量子相干性[编辑]

量子力學裏,物質具有波動性(參閱德布羅意假說)。例如,楊氏雙縫實驗也可以用電子來完成。從電子源發射出的每一個電子可以穿過兩條狹縫中的任何一條狹縫,因此,有兩種抵達觀察屏最終位置的方法可供選擇。一種方法是將狹縫S1關閉,電子只能穿過狹縫S2;另一種方法是將狹縫S2關閉,電子只能穿過狹縫S1。每一種方法可以設定為一個特別的量子態。由於這兩個量子態會相互干涉,因而影響電子抵達偵測屏最終位置的機率分佈,也因此形成了觀察屏的干涉圖樣。這相互干涉的能力展現出粒子的「量子相干性」。

假若,試圖測量電子到底是經過哪一條狹縫。那麼,兩個量子態的相位關係會不再存在。這雙態系統就會被退相干化。這現象顯示出量子系統的互補性

大尺寸(宏觀)量子相干會導致新穎奇異的現象,稱為宏觀量子現象(Macroscopic quantum phenomena)。例如,雷射超導現象超流體等等,都是高度相干的量子系統,它們產生的效應可以在宏觀尺寸觀察到。超流體现象是玻色-愛因斯坦凝聚。所有組成凝聚的粒子都同相,可以用單獨一個量子波函數來描述。

換另一方面,薛丁格貓思想實驗強調,不能任意地將量子相干用在宏觀案例。但是,物理學者於2009年成功地在機械共振器(resonator)的運動裏觀測到量子相干現象。[8]

參閱[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 1860年代,法國物理學者埃米爾·韋爾代Émile Verdet)使用不相干光源重做楊氏干涉實驗。他發現,只要兩個針孔之間的距離小於0.05mm(太陽光的橫向相干長度),就可以觀察到干涉圖樣,從這狹縫衍射出的就是部分相干性光波。這實驗開啟了對於部分相干性質的研究。Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, pp. 560, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (English) 

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 George Bekefi; Alan H. Barrett. Electromagnetic Vibrations, Waves, and Radiation. The MIT Press. 1977: pp. 590ff. ISBN 0-262-52047-8. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, pp. 457, 460, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (English) 
  3. ^ M.Born; E. Wolf. Principles of Optics 7th ed. 1999. 
  4. ^ Peng, J.-L.; Liu, T.-A.; Shu, R.-H. Optical frequency counter based on two mode-locked fiber laser combs. Applied Physics B. 2008, 92 (4): 513. Bibcode:2008ApPhB..92..513P. doi:10.1007/s00340-008-3111-6. 
  5. ^ 5.0 5.1 Mandel, Leonard; Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics illustrated, reprint. Cambridge University Press. 1995: pp. 42–43. ISBN 9780521417112. 
  6. ^ Hodgman, S. S.; Dall, R. G.; Manning, A. G.; Baldwin, K. G. H.; Truscott, A. G. Direct Measurement of Long-Range Third-Order Coherence in Bose-Einstein Condensates. Science. 2011, 331 (6020): 1046–1049. Bibcode:2011Sci...331.1046H. doi:10.1126/science.1198481. PMID 21350171. 
  7. ^ Pincock, S. Cool laser makes atoms march in time. ABC Science. ABC News Online. 25 February 2011 [2011-03-02]. 
  8. ^ O'Connell, A. D.; Hofheinz, M.; Ansmann, M.; Bialczak, R. C.; Lenander, M.; Lucero, E.; Neeley, M.; Sank, D. et al. Quantum ground state and single-phonon control of a mechanical resonator. Nature. 2010, 464 (7289): 697–703. Bibcode:2010Natur.464..697O. doi:10.1038/nature08967. PMID 20237473.