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态叠加原理

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雙縫實驗裏,從光源 \mathrm{a} 傳播出來的相干光子束,照射在一塊刻有兩條狹縫 \mathrm{b}\mathrm{c} 的不透明擋板 \mathrm{S2} 。在擋板的後面,擺設了攝影膠捲或某種偵測屏 \mathrm{F} ,用來紀錄到達 \mathrm{F} 的任何位置 \mathrm{d} 的光子數據。最右邊黑白相間的條紋,顯示出光子在偵測屏 \mathrm{F} 的干涉圖樣。

量子力学裏,态叠加原理(superposition principle)表明,假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種,則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交,則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。[1]:316ff

數學表述,态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式,任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合(稱為「疊加態」)的解時常會被設定為相互正交(稱為「基底態」),例如氫原子電子能級態;換句話說,這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣,對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值,是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值,乘以疊加態處於對應基底態的機率之後,所有乘積的總和。

更具體地說明,假設對於某量子系統測量可觀察量 A ,而可觀察量 A 的本徵態 |a_1\rang|a_2\rang 分別擁有本徵值 a_1a_2 ,則根据薛定谔方程线性关系,疊加態 |\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang 也可以是這量子系統的量子態;其中, c_1c_2 分別為疊加態處於本徵態 |a_1\rang|a_2\rang機率幅。 假設对這疊加態系統测量可观察量 A ,則測量獲得數值是 a_{1}a_{2} 的機率分別為 |c_{1}|^2|c_{2}|^2期望值\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例,在雙縫實驗裏,可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉,造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋,這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例,在量子運算裏,量子位元是的兩個基底態 |0 \rangle |1 \rangle 的線性疊加。這兩個基底態 |0 \rangle |1 \rangle 的本徵值分別為 01

理論[编辑]

在數學裏,疊加原理表明,線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式,疊加原理也適用於量子力學,在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 |f_1\rang|f_2\rang ,這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合 |f\rang=c_1|f_1\rang+c_2|f_2\rang ,也滿足同樣的薛丁格方程式;其中,c_1c_2 是複值係數,為了歸一化 |f\rang ,必須讓 |c_{1}|^2+|c_{2}|^2=1

假設 \theta 為實數,則雖然 e^{i\theta}|f_2\rang|f_2\rang 標記同樣的量子態,他們並無法相互替換。例如, |f_1\rang+|f_2\rang|f_1\rang+e^{i\theta}|f_2\rang 分別標記兩種不同的量子態。但是,|f_1\rang+|f_2\range^{i\theta}(|f_1\rang+|f_2\rang) 都標記同一個量子態。因此可以這樣說,整體的相位因子並不具有物理意義,但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。[1]:317

電子自旋範例[编辑]

設想自旋1/2電子,它擁有兩種相互正交的自旋本徵態,上旋態 |\uparrow \rang 與下旋態 |\downarrow \rang ,它們的量子疊加可以用來表示量子位元

|\psi\rang= c_{\uparrow}|\uparrow \rang + c_{\downarrow}|\downarrow \rang

其中,c_{\uparrow}c_{\downarrow} 分別是複值係數,為了歸一化 |\psi\rang ,必須讓 |c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1

這是最一般的量子態。係數 c_{\uparrow}c_{\downarrow} 分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率:

 p_{\uparrow}=|c_{\uparrow}|^2
 p_{\downarrow}=|c_{\downarrow}|^2

總機率應該等於1: p=p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態:

|\psi\rangle = {3i\over 5}  |\uparrow\rang + {4\over 5} |\downarrow\rang

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

p_{\uparrow}=\left|\;\frac{3i}{5}\;\right|^2=\frac{9}{25}
p_{\downarrow}=\left|\;\frac{4}{5}\;\right|^2=\frac{16}{25}

再次注意到總機率應該等於1:

p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1

非相對論性自由粒子案例[编辑]

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式[1]:331-336

 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) = 
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)

其中,\hbar約化普朗克常數\Psi(\mathbf{r},t) 是粒子的波函數\mathbf{r} 是粒子的位置,t 是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解:

\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}

其中,\mathbf{k}波向量\omega角頻率

代入薛丁格方程,這兩個變數必須遵守關係式

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega

由於粒子存在的機率等於 1 ,波函數 \Psi(\mathbf{r},t) 必須歸一化,才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。在量子力學裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加

\Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}

其中,積分區域 \mathbb{K}\mathbf{k}-空間。

為了方便計算,只思考一維空間,

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k

其中,振幅 A(k) 是量子疊加的係數函數。

逆反過來,係數函數表示為

 A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x

其中,\Psi(x,0) 是在時間 t=0 的波函數。

所以,知道在時間 t=0 的波函數 \Psi(x,0) ,通過傅立葉變換,可以推導出在任何時間的波函數 \Psi(x,t)

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 0-393-09106-0 请检查|isbn=值 (帮助)