# 量子閘

## 常使用的閘

$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.

### 泡利-X 閘(Pauli-X gate)

$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

### 泡利-Y 閘(Pauli-Y gate)

$Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$.

### 泡利-Z 閘(Pauli-Z gate)

$Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

### 相位偏移閘(Phase shift gates)

$R(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \theta} \end{bmatrix}$

### 互換閘(Swap gate)

$\mbox{SWAP} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

### 受控閘(Controlled gates)

$\mbox{CNOT} = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$

$U = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \end{bmatrix}$

File:Controlled-gate.png
Graphical representation of controlled-U gate
$| 0 0 \rangle \mapsto | 0 0 \rangle$
$| 0 1 \rangle \mapsto | 0 1 \rangle$
$| 1 0 \rangle \mapsto | 1 \rangle U |0 \rangle = | 1 \rangle \left(x_{00} |0 \rangle + x_{10} |1 \rangle\right)$
$| 1 1 \rangle \mapsto | 1 \rangle U |1 \rangle = | 1 \rangle \left(x_{01} |0 \rangle + x_{11} |1 \rangle\right)$

$\mbox{C}(U) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{00} & x_{01} \\ 0 & 0 & x_{10} & x_{11} \end{bmatrix}$

### Toffoli閘(Toffoli gate)

Toffoli閘是一個操作三個量子位元的，對傳統運算是完備的閘。量子的Toffoli閘是類同的閘，以三個量子位元定義。如果前兩個量子位元是$|1\rangle$，則對第三個量子位元進行泡利-X運算，反之則不做操作。這是一個受控閘的範例。既然這個閘是一個傳統邏輯閘的量子類比，因此它可以用一個真值表來完整表示如下：

INPUT OUTPUT
0   0   0   0   0   0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0

## 萬能量子閘

$|a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

## 参考文献

### 引用

1. ^ Deutsch, David, Quantum computational networks, Proc. R. Soc. Lond. A, September 8, 425 (1868): 73–90, doi:10.1098/rspa.1989.0099
2. ^ Phys. Rev. A 52 3457–3467 (1995)，DOI:10.1103/PhysRevA.52.3457; e-print arXiv:quant-ph/9503016
3. ^ R. P. Feynman，“Quantum mechanical computers”，Optics News，February 1985，11，p. 11; reprinted in Foundations of Physics 16(6) 507–531

### 书籍

• M. Nielsen and I. Chuang，Quantum Computation and Quantum Information，Cambridge University Press，2000