量子穿隧效應

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量子穿隧效應示意圖。穿隧粒子的能量不變,只有量子幅降低。因此,找到粒子的機率也會降低

量子力學裏,量子穿隧效應為一種量子特性,是如电子等微观粒子能够穿过它们本来无法通过的“墙壁”的现象。这是因为根據量子力學,微观粒子具有波的性质,而有不為零的機率穿過位勢障壁。

量子穿隧效應Quantum tunnelling effect),是一種衰減波耦合效應,其量子行為遵守薛丁格波動方程式。假若條件恰當,任何波動方程式都會顯示出衰減波耦合效應。數學地等價於量子穿隧效應的波耦合效應也會發生於其它狀況。例如,遵守馬克士威方程組光波微波;遵守常見的非色散波動方程式繩波聲波

若要使穿隧效應發生,必須有一個 2 型介質的薄區域,像三明治一般,夾在兩個1型介質的區域。2型介質的波動方程式必須容許實值指數函數解(上升指數函數或下降指數函數),而1型介質的波動方程式則必須容許行進波解。在光學裏,1型介質可能是玻璃,而2型介質可能是真空。在量子力學裏,從粒子運動這方面來說,1型介質區域是粒子總能量大於位能的區域,而 2 型介質是粒子總能量小於位能的區域(稱為位勢壘)。

假若條件恰當,從1型介質區域入射至2型介質區域,行進波的波幅會穿透過 2 型介質區域,再以進行波的形式,出現於第二個 1 型介質區域。在量子力學裏,穿透過的波幅可以合乎物理地解釋為行進粒子。遵守薛丁格波動方程式,穿透波幅的絕對值平方和入射波幅的絕對值平方的比率給出了粒子穿隧的透射係數,也就是其透射機率。對於遵守其它種波動方程式的光波、微波、繩波、聲波等等,穿透波幅可以物理地解釋為行進能量,而穿透波幅的絕對值平方和入射波幅的絕對值平方的比率則給出了穿透能量和入射能量的比率。

入門概念[编辑]

這些「類似穿隧現象」發生的尺寸與行進波的波長有關。對於電子來說,2型介質區域的厚度通常只有幾奈米。相比之下,對於一個穿隧出原子核的阿爾法粒子來說,厚度會是超小;對於光波來說,雖然 2 型介質區域的厚度超大,類似現象仍舊會發生。

仔細觀察薛丁格波動方程式。假若粒子可以被視為一個局域化於一點的物體,則粒子在介質區域內運動的行為是由粒子的動能設定的。在 1 型介質區域內,動能是正值的;而在2型介質區域內,動能是負值的。這現象並不會造成任何矛盾。量子力學不允許粒子局域化於一點。粒子的波函數必是有些散開的(「非局域的」),而非局域的物體,其動能的期望值必是正值的。

有些時候,為了數學上的便利,物理學家會視粒子的行為像質點一般,特別是當解析關於經典力學和牛頓第二定律的問題時,物理學家常會這樣做。過去,物理學家認為經典力學的成功意味著粒子可以被視為局域化於一點。但是,當涉及非常小的物體和非常小的距離時,並沒有任何令人心服口服的實驗證據,可以證明這論點是正確的。反之,物理學家現在知道這看法是錯誤的。可是,由於傳統教學方法仍舊反復灌輸粒子的行為像質點一般這概念,學生有時會非常驚訝地發覺,行進粒子總是遵守波動方程式(甚至是當使用移動質點的數學會造成很多便利的時候)。很明顯地,根據牛頓定律,一個假設地經典質點粒子絶對無法進入負動能區域。而一個遵守波動方程式的真實非局域物體,會永遠擁有正值動能,假若條件恰當,則能夠穿透過這區域。

正在接近一個位勢壘的一個電子,必須表達為一個波列。有時候,這波列可能會相當長。在某些物質裏,電子波列的長度可能有10至20奈米。這會增加模擬動畫的難度。假設可以用短波列來代表電子,那麼,右圖動畫正確地顯示出穿隧效應。

電子波包遇到位勢壘而產生的反射和穿隧效應。往位勢壘的左邊移動的明亮圓盤是波包的反射部分。暗淡的圓盤可以被觀察到往位勢壘的右邊移動,是波包穿過位勢壘的很微小的一部分。這是經典力學所不允許的。順便注意入射波與反射波,因為疊加,而產生的干涉條紋。

穿隧效應的數學解析有一個特別問題。對於簡單的位勢壘模型,像長方形位勢壘,薛丁格方程式有解析解,可以給出精確的穿隧機率,又稱為穿透係數。這一類的計算可以清楚的表明穿隧效應的物理內涵。更進一步,物理學家很想要能夠計算出更合乎實際物理的穿隧效應。但是,在輸入適當的位勢壘數學公式於薛丁格方程式後,大多數時候,我們會得到一個棘手的非線性微分方程式。通常,這類微分方程式沒有解析解。很早以前,數學家和數學物理家就已經在研究這問題了。他們研究出一些特別的方法來近似地解析這些方程式。在物理學裏,這些特別方法被稱為半經典方法。一個常見的半經典方法是WKB 近似(又稱為JWKB近似)。最先為人所知的嘗試使用這類方法來解答穿隧問題,發生於 1928 年,用在場電子發射field electron emission)問題。N. FrömanP. O. Fröman 兩位物理學家於1965年最先得到完全正確的數學答案(他們也給出了合理的數學論證)。他們的複雜點子還沒有被寫入理論物理教科書。當今的理論物理教科書所講述的方法比較簡單,比較不精確。稍後,我們會簡略的講述一個個別的半經典方法。

有些研究穿隧效應的物理學家認為,粒子只不過擁有波樣的物理行為,實際上粒子是質點樣的。支持這看法的實驗證據非常稀少。多數物理學家比較偏好的看法是,粒子實際上是非局域,而是波樣的,總是表現出波樣的物理行為。但是,在某些狀況,使用移動質點的數學來描述其運動是一個很便利的方法。這裏,我們採取第二種看法。不論如何,這波樣的物理行為的真實本質是一個更深奧的問題,不包括在此文章所講述範圍之內。

這裡所研討的現象通常稱為量子穿隧效應或粒子穿隧效應。但是,穿隧理論注重的是粒子在波動方面的物理行為,而不是關於粒子能級方面的效應。因此,有些作者比較喜歡稱這現象為「波動穿隧效應」。

穿隧效应的例子[编辑]

阿爾法衰变就是因为阿爾法粒子摆脱了本来不可能摆脱的强力的束缚而「逃出」原子核。扫描隧道显微镜是量子穿隧效应的主要应用之一。扫描隧道显微镜可以克服普通光学显微镜像差的限制,通过穿隧电子扫描物体表面,从而辨别遠遠小于光波长的物体。

理论上,宏观物体也能发生穿隧效应。人也有可能穿过墙壁,但要求组成这个人的所有微观粒子都同时穿过墙壁,其实际上幾乎是完全不可能,以至于人類歷史以來还没有成功的纪录。

歷史[编辑]

1928年,喬治·伽莫夫正確地用量子穿隧效應解釋原子核阿爾法衰變。在經典力學裏,粒子會被牢牢地束縛於原子核內,主要是因為粒子需要超大的能量,才能逃出原子核的非常強的位勢。所以,經典力學無法解釋阿爾法衰變。在量子力學裏,粒子不需要擁有比位勢還強的能量,才能逃出原子核;粒子可以機率性的穿透過位勢,因此逃出原子核位勢的束縛。伽莫夫想出一個原子核的位勢模型,藉著這模型,導引出一個粒子的半衰期與能量的關係方程式。

同時期,Ronald GurneyEdward Condon 也獨立地研究出阿爾法衰變的量子穿隧效應。不久,兩組科學隊伍都開始研究粒子穿透入原子核的可能性。

量子穿隧理論也被應用在其它領域,像電子的冷發射cold emission)、半導體物理學超導體物理學等等。快閃記憶體的運作原理牽涉到量子穿隧理論。超大型積體電路VLSI integrated circuit) 的一個嚴峻的問題就是電流洩漏。這會造成相當大的電力流失和過熱效應。

另外一個重要應用領域是掃描隧道顯微鏡。普通的顯微鏡無法觀察到很多微小尺寸的物體;可是,掃描隧道顯微鏡能夠清晰地觀察到這些物體的細節。掃描隧道顯微鏡克服了普通顯微鏡的極限問題(像差限制,波長限制等等)。它可以用穿隧電子來掃描一個物體的表面。

數學推導[编辑]

對於一個不規則位勢壘的量子穿隧效應。往左與往右的量子波的波幅與方向都分別表示於圖內。入射波、反射波、透射波的波幅分別是 A_r\,\!A_l\,\! 、和 C_r\,\!

思考一個入射波 A_r e^{ikx}\,\! ,遇到處於 x=0\,\!x=a\,\! 之間的位勢 V(x)\,\! 。入射波的一部分會反射回去,成為反射波 A_l e^{ - ikx}\,\! ;另一部分則會穿透過位勢 V(x)\,\! ,成為透射波 C_r e^{ikx}\,\! 。那麼,在位勢壘的左邊與右邊,波函數分別是

\psi_A(x)=A_r e^{ikx}+A_l e^{ - ikx}\,\!
\psi_C(x)=C_r e^{ikx}\,\!

而在位勢壘的內部,根據 WKB 近似,波函數大約為

\psi_B(x)\approx \frac{B_r}{\sqrt{|p|}} e^{ - \int_0^x |p(x')|dx'/\hbar}+\frac{B_l}{\sqrt{|p|}} e^{\int_0^x |p(x')|dx'/\hbar}\,\!

其中,p(x)=\sqrt{2m(E - V(x))}\,\! 是動量。

通過邊界條件的匹配,可以設定常數 A_l\,\!B_r\,\!B_l\,\!C_r\,\! 對於 A_r\,\! 的比例。

一個粒子穿透過位勢壘的機率等於透射係數,定義為

T\equiv \frac{|C_r|^2}{|A_r|^2}\,\!

假若位勢壘又寬又強,那麼,指數遞增項目必定很小,可以忽略。所以,

\psi_B(x)\approx \frac{B_r}{\sqrt{|p|}} e^{ - \int_0^x |p(x')|dx'/\hbar}\,\!

毛估 C_r\,\! 對於 A_r\,\! 的比例為

\frac{|C_r|}{|A_r|}\approx e^{ - \gamma}\,\!

其中,\gamma=\int_0^a |p(x')|dx'/\hbar\,\!

所以,粒子穿透過位勢壘的機率為

T=e^{ - 2\gamma}\,\!

請注意,取所有物理參數都超大於普朗克常數的經典極限,表達為 \hbar \rightarrow 0\,\! 。那麼,透射係數正確地變為零,也就是說,粒子無法穿透過位勢壘。

量子穿隧效应明显的化学反应[编辑]

传统的化学反应势能图。

量子穿隧效应也可以存在于某些化学反应中。此类反应中,反应物分子的波函数从反应势垒穿过即可使反应发生,而在经典的化学反应中,反应物分子只有获得足够能量,越过活化能的能垒,反应才可以发生(见右图)。

对于有量子穿隧效应的化学反应,可通过向阿伦尼乌斯方程中加入一个修正因子Q,将反应速率k、温度T和反应的能垒E(类似于活化能Ea)联系起来:

k=QAe^{- \tfrac{E}{RT}}\,

其中:

Q=\frac{e^{\alpha}}{\beta - \alpha}(\beta e^{-\alpha} - \alpha e^{ - \beta })
\alpha = \frac{E}{RT}\,
\beta = \frac{2a{\pi}^2 \sqrt{2mE}}{h}\,
m是发生穿隧的粒子的质量,2a是位势垒的宽度

从上式可以看出,发生穿隧的粒子质量越小(德布罗意波长越大),势垒的宽度越小(即势垒越窄),反应受量子穿隧效应的影响的可能性越大。因此一般发生穿隧的都是电子、原子或原子,很少有较重元素的原子参与穿隧的。势垒的宽度则由粒子穿隧前后所处位置之间的距离所决定,两个反应位点距离越近,穿隧的程度越大。并且能垒越低,穿隧程度也越大。由于β分别与2a,和质量m的平方根成正比,故因子Q受势垒宽度的影响比它受粒子质量的影响更大一些。

验证量子穿隧效应存在于化学反应中的一种方法是动力学同位素效应(KIE)。在KIE实验中,反应的一个反应物的某一原子分别被同一元素质量不同的同位素所标记,分别进行反应,通过对比两者的反应速率,可以得出关于反应机理的信息。若一个反应的速率控制步骤涉及该同位素与其他元素形成的化学键的断裂,由于越重的同位素形成的化学键越不容易断裂,因此使用同一元素不同同位素标记的反应物参加反应时,反应的速率也应该是不同的,重同位素标记的反应物参与的反应速率应该较慢。如果这两种同位素分别是氕和氘(即氢-1和氢-2),通常情况下,kH/kD的值应该在6-10之间,也就是说,含C-H键的反应速率是含C-D键的反应速率的6-10倍。但如果反应中存在量子穿隧效应,由于质量m在因子Q中是处在指数位置上的,m的变化对速率的影响很大,因此kH/kD的值应该远大于10。实验事实也证明了这个假设。比如在下面的反应中,硝基丙烷的阿爾法-氢被有位阻的吡啶去质子化,并被碘代,反应的KIE值在25 °C时却达到25,意味着反应中很可能存在量子穿隧效应。[1]

动力学同位素效应

修正项Q的存在,使得存在量子穿隧效应反应的速率k受温度T影响很小。相对于普通的化学反应,在温度明显升高或降低时,此类反应的速率通常不会有很明显的变化,仅有很小的差异。低温下,量子穿隧效应反而更加明显,研究此类反应也通常在低温下进行。然而,温度的升高,使一部分分子跃迁到第二振动能级(n=1)上,降低了势垒宽度,使反应速率加快。这便是速率受温度影响不为零的缘故。

量子穿隧效应最常见于有机化学反应中,尤其是一些含活性中间体的反应和某些催化的生化反应。它是能夠顯著增加反應速率的一种機制。酶使用量子穿隧效應來轉移電子及氫原子重氫原子一類的原子核。實驗也顯示出,在某種生理狀況下,甚至連葡萄糖氧化酶英语glucose oxydaseglucose oxydase)的氧原子核都會發生量子穿隧效應。[來源請求]

質子-質子鏈反應也是量子穿隧效应的例子之一。

有科学家认为[谁?],化学反应中的量子穿隧效应是宇宙中众多有机分子得以合成的基础,也有可能是合成早期生命所需的有机化合物的重要机制。外太空中,温度极低,并且存在着大量的氢元素和氦元素,和大量的甲醛分子作合成原料,这些因素,都有利于量子穿隧效应的发生。通过很多类似的反应,可以由简单的无机原料,突破传统化学反应的禁阻,合成很多复杂的有机化合物。这些有机分子很可能与生命起源有重要关联。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Edward Sheldon Lewis and Lance Funderburk. Rates and isotope effects in the proton transfers from 2-nitropropane to pyridine bases. J. Am. Chem. Soc. 1967, 89 (10): 2322–2327. doi:10.1021/ja00986a013.