菲涅耳方程

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
奥古斯丁·菲涅耳。

菲涅耳方程(或称菲涅耳条件)是由法国物理学家奥古斯丁·菲涅耳推导出的一组光学方程,用於描述光在两种不同折射率介质中传播时的反射折射。方程中所描述的反射因此还被称作“菲涅耳反射”。

解释[编辑]

当光从一种具有折射率为n_1\,的介质向另一种具有折射率为n_2\,的介质传播时,在两者的交界处(通常称作界面)可能会同时发生光的反射和折射。

菲涅耳方程中所用的变量

在右图中,入射光线PO到达两种介质交界面上的点O时,部分光线被反射,反射光为OQ,而部分被折射,折射光为OS。入射光线、反射光线和折射光线各自与法线形成的夹角分别为\theta_i\,\theta_r\,\theta_t\,。这些角度之间的关系可由反射定律斯涅尔定律给出。

入射光的功率被界面反射的比例,我们称其为反射比R\,;而将折射的比例称其为透射比T\,[1]。对反射比和透射比的计算需要用到电动力学中的电磁波传播理论,具体方法可参考玻恩的《光学原理:光的传播、干涉和衍射的电磁理论》[2]以及杰克逊的《经典电动力学》[3]

反射比和透射比的具体形式还与入射光的偏振有关。如果入射光的电矢量垂直於右图所在平面(即s偏振),反射比为

R_s = \left[ \frac{\sin (\theta_t - \theta_i)}{\sin (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}\right)^2
=\left[\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}{n_1\cos\theta_i+n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}\right]^2

其中\theta_t\,是由斯涅尔定律从\theta_i\,导出的,并可用三角恒等式化简。

如果入射光的电矢量位于右图所在平面内(即p偏振),反射比为

R_p = \left[ \frac{\tan (\theta_t - \theta_i)}{\tan (\theta_t + \theta_i)} \right]^2
=\left(\frac{n_1\cos\theta_t-n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t+n_2\cos\theta_i}\right)^2
=\left[\frac{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}-n_2\cos\theta_i}{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}+n_2\cos\theta_i}\right]^2

透射比无论在哪种情况下,都有T = 1 - R\,

如果入射光是无偏振的(含有等量的s偏振和p偏振),反射比是两者的平均值:R = \frac{R_s + R_p}{2}\,

反射和折射光波的振幅与入射光波振幅的比值(通常称为反射率透射率)也可用类似的方程给出,这些方程也称作菲涅耳方程。根据不同的体系和符号习惯,它们可以有不同形式。反射率和透射率通常用小写的r\,t\,表示。在某些体系中,它们满足条件:

R=r^2\ \mathrm{and}\ T=\left(\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\right)t^2 [4]

对於给定的折射率n_1\,n_2\,且入射光为p偏振光时,当入射角为某一定值时R_p\,为零,此时p偏振光被完全透射而无反射光出射。这个角度被称作布儒斯特角,对於空气或真空中的玻璃介质约为56°。注意这个定义只是对於两种折射率都为实数的介质才有意义,对於会吸光的物质,例如金属半导体,折射率是一个复数,从而R_p\,一般不为零。

当光从光密介质向光疏介质传播时(即n_1\ > n_2\,时),存在一个临界的入射角,对於大于此入射角的入射光R_s = R_p = 1\,,此时入射光完全被界面反射。这种现象称作全内反射,临界角被称作全反射临界角,对於空气中的玻璃约为41°。

Fresnel2.png

当光线以近法线入射(\theta_i \approx \theta_t \approx 0\,)时,反射比和透射比分别为:

R = R_s = R_p = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2
T = T_s = T_p = 1-R = \frac{4 n_1 n_2}{\left(n_1 + n_2 \right)^2}

对於普通的玻璃,反射比大约为4%。注意窗户对光波的反射包括前面一层以及后面一层,因而少量光波会在两层之间来回振荡形成干涉。如忽略这种干涉效应,这两层合并后的反射比为\frac{2R}{1 + R}\,见下)。

需要指出的是这里所有的讨论都假设介质的磁导率\mu\,都等于真空磁导率\mu_0\,。对於大多数电介质而言这是近似正确的,但对其他类型的物质来说不正确,因而若考虑这一点则菲涅耳方程的形式会更加复杂。

多重界面的效应[编辑]

当光在两层以上平行表面发生多重反射时,多列反射光波往往会互相发生干涉,从而有可能会使系统总的透射光和反射光振幅表达起来相当复杂,这通常是波长(或频率)的函数。一个例子是漂浮在水面上的油膜,在光照下会产生多种色彩;其他例子还包括法布里-珀罗干涉仪透镜等光学仪器表面所用的能极大降低反射率的镀膜(增透膜),以及各种光学滤波器。对这些效应的定量计算仍然是基于菲涅耳方程的,但也要考虑额外产生的干涉所带来的影响,通常可以采用光学中的传递矩阵方法来计算这些问题。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Hecht (1987), p. 100.
  2. ^ Max Born; Emil Wolf. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th Edition) (Hardcover). Cambridge University Press. October 13, 1999: 334. ISBN 0521642221. 
  3. ^ Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. 1999. ISBN ISBN 0-471-30932-X. 
  4. ^ Hecht (2002), p. 120.

外部链接[编辑]