菲涅耳方程

当一列波从低折射率介质向高折射率介质传播时，通过MatLab计算得到的透射和反射振幅。

菲涅耳方程（或称菲涅耳条件）是由法国物理学家奥古斯丁·菲涅耳推导出的一组光学方程，用於描述光在两种不同折射率的介质中传播时的反射和折射。方程中所描述的反射因此还被称作“菲涅耳反射”。

解释

当光从一种具有折射率为$n_1\,$的介质向另一种具有折射率为$n_2\,$的介质传播时，在两者的交界处（通常称作界面）可能会同时发生光的反射和折射。

菲涅耳方程中所用的变量

在右图中，入射光线PO到达两种介质交界面上的点O时，部分光线被反射，反射光为OQ，而部分被折射，折射光为OS。入射光线、反射光线和折射光线各自与法线形成的夹角分别为$\theta_i\,$、$\theta_r\,$和$\theta_t\,$。这些角度之间的关系可由反射定律和斯涅尔定律给出。

入射光的功率被界面反射的比例，我们称其为反射比$R\,$；而将折射的比例称其为透射比$T\,$。对反射比和透射比的计算需要用到电动力学中的电磁波传播理论，具体方法可参考玻恩的《光学原理：光的传播、干涉和衍射的电磁理论》以及杰克逊的《经典电动力学》。

反射比和透射比的具体形式还与入射光的偏振有关。如果入射光的电矢量垂直於右图所在平面（即s偏振），反射比为

$R_s = \left[ \frac{\sin (\theta_t - \theta_i)}{\sin (\theta_t + \theta_i)} \right]^2 =\left(\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}\right)^2 =\left[\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}{n_1\cos\theta_i+n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}}\right]^2$

其中$\theta_t\,$是由斯涅尔定律从$\theta_i\,$导出的，并可用三角恒等式化简。

如果入射光的电矢量位于右图所在平面内（即p偏振），反射比为

$R_p = \left[ \frac{\tan (\theta_t - \theta_i)}{\tan (\theta_t + \theta_i)} \right]^2 =\left(\frac{n_1\cos\theta_t-n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t+n_2\cos\theta_i}\right)^2 =\left[\frac{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}-n_2\cos\theta_i}{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i\right)^2}+n_2\cos\theta_i}\right]^2$

透射比无论在哪种情况下，都有$T = 1 - R\,$。

如果入射光是无偏振的（含有等量的s偏振和p偏振），反射比是两者的平均值：$R = \frac{R_s + R_p}{2}\,$。

反射和折射光波的振幅与入射光波振幅的比值（通常称为反射率和透射率）也可用类似的方程给出，这些方程也称作菲涅耳方程。根据不同的体系和符号习惯，它们可以有不同形式。反射率和透射率通常用小写的$r\,$和$t\,$表示。在某些体系中，它们满足条件：

$R=r^2\ \mathrm{and}\ T=\left(\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i}\right)t^2$ 

对於给定的折射率$n_1\,$和$n_2\,$且入射光为p偏振光时，当入射角为某一定值时$R_p\,$为零，此时p偏振光被完全透射而无反射光出射。这个角度被称作布儒斯特角，对於空气或真空中的玻璃介质约为56°。注意这个定义只是对於两种折射率都为实数的介质才有意义，对於会吸光的物质，例如金属和半导体，折射率是一个复数，从而$R_p\,$一般不为零。

当光从光密介质向光疏介质传播时（即$n_1\ > n_2\,$时），存在一个临界的入射角，对於大于此入射角的入射光$R_s = R_p = 1\,$，此时入射光完全被界面反射。这种现象称作全内反射，临界角被称作全反射临界角，对於空气中的玻璃约为41°。

当光线以近法线入射（$\theta_i \approx \theta_t \approx 0\,$）时，反射比和透射比分别为：

$R = R_s = R_p = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2$

$T = T_s = T_p = 1-R = \frac{4 n_1 n_2}{\left(n_1 + n_2 \right)^2}$

对於普通的玻璃，反射比大约为4%。注意窗户对光波的反射包括前面一层以及后面一层，因而少量光波会在两层之间来回振荡形成干涉。如忽略这种干涉效应，这两层合并后的反射比为$\frac{2R}{1 + R}\,$（见下）。

需要指出的是这里所有的讨论都假设介质的磁导率$\mu\,$都等于真空磁导率$\mu_0\,$。对於大多数电介质而言这是近似正确的，但对其他类型的物质来说不正确，因而若考虑这一点则菲涅耳方程的形式会更加复杂。

多重界面的效应

当光在两层以上平行表面发生多重反射时，多列反射光波往往会互相发生干涉，从而有可能会使系统总的透射光和反射光振幅表达起来相当复杂，这通常是波长（或频率）的函数。一个例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下会产生多种色彩；其他例子还包括法布里－珀罗干涉仪、透镜等光学仪器表面所用的能极大降低反射率的镀膜（增透膜），以及各种光学滤波器。对这些效应的定量计算仍然是基于菲涅耳方程的，但也要考虑额外产生的干涉所带来的影响，通常可以采用光学中的传递矩阵方法来计算这些问题。

参见

• 菲涅耳菱体，菲涅耳用於产生圆偏光的仪器。
• 镜面反射
• 反射係數
• 透射係數

参考文献

• Hecht, Eugene. Optics 2nd. Addison Wesley. 1987. ISBN 0-201-11609-X. 
• Hecht, Eugene. Optics 4th. Addison Wesley. 2002. ISBN 0-321-18878-0. 

外部链接

• Fresnel Equations – Wolfram Research
• FreeSnell – 免费的计算机软件，用於计算多层材料的光学性质
• Thinfilm – 计算薄膜以及多层材料光学性质（反射和透射系数等）的Web网页
• 计算单界面的反射和折射角、以及光强的Web网页.
• ReflectionCoefficient.INFO – 光学反射率计算器
• Reflection and transmittance for two dielectrics - 用Mathematica编写的演示折射率与反射关系的工具